• [文化课] 导数放缩专题


    六个常见函数的图像

        

        


    $e^x$的泰勒展开:

    $$e^x= sum_{i=0}^{+infty} frac{x^i}{i!} =1 + x + frac{x^2}{2!} + frac{x^3}{3!} + ··· + frac{x^n}{n!} + o(x^n)$$

    因此有$$e^x geq x + 1 (x in R)$$

    也就是$$x geq ln x + 1 (x>0)$$

    代换一下$$frac{1}{e^x} geq 1 - x  \ ln x geq 1 - frac{1}{x}$$

    当然也有(尽管目前从没见过)$$e^x geq frac{1}{2}x^2 + x + 1 (x>0)$$

    一种变形

    $$x^2e^x=e^{x+2 ln x} geq x+2 ln x+1 或 xe^{2x}=e^{2x+ ln x} geq 2x+ ln x+1$$

    同理还有$ln (x+1)$的泰勒展开


    诡异放缩:$$e^x>x^2$$或$$ln x <sqrt{x}$$


    三角函数的分段放缩

    $0<x<1$时,放到$x$

    $$x>sin x (x>0)$$

    $x>1$时,放到$±1$

    $$-1 leq sin x leq 1$$

    此外$0<x<dfrac{pi}{2}$时 $$sin x < x < an x$$


    基本不等式放缩

    可处理根式$$sqrt{x+1} = sqrt{(x+1) imes 1} < frac{(x+1)+1}{2} = frac{x}{2} + 1$$

    柯西不等式放缩(或求最值)

    例如$dfrac{x+1}{sqrt{x^2+2}} = dfrac{x+1}{sqrt{dfrac{2}{3} (x^2+2) (1+dfrac{1}{2})}} le sqrt{dfrac{3}{2}} = dfrac{sqrt{6}}{2}$

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