• CF1096F Inversion Expectation [期望]


    题意

      给你一个长为$n$的排列,若某一位为$−1$则这一位是不确定的。每种可能的排列出现的概率相等。求期望逆序对数对$998244353$取模的结果。


    分类讨论一下:

      1. 已知位置之间贡献:树状数组计算

      2.未知位置之间贡献:$\frac{\tbinom{m}{2}}{2}=\frac{1}{4}m(m-1)$ ($m$为未知位置个数)

      3.已知和未知之间贡献:

        对于每个未知的位置,取不同值时前面比它大和后面比它小的数的个数。

        转化一下就是:每个已知的位置贡献为$$(前面未知位置个数\times比这个数大的未使用的数的个数+后面未知位置个数\times比这个数小的未使用的数的个数)\times m^{-1}$$

     1 #include <cstdio>
     2 #include <cstring>
     3 #include <algorithm>
     4 using namespace std;
     5 typedef long long ll;
     6 const int N=200010;
     7 const ll P=998244353;
     8 ll n,a[N],app[N],b[N],m,c[N],inv,S;
     9 ll ans;
    10 inline void add(int x) {for (; x<=n; x+=(x&-x)) c[x]++;}
    11 inline ll sum(int x) {ll s=0; for (; x; x-=(x&-x)) s+=c[x]; return s;}
    12 inline ll pow(ll x,ll k) {ll r=1; for (; k; k>>=1,x=x*x%P) if (k&1) r=r*x%P; return r;}
    13 int main() {
    14     scanf("%lld",&n);
    15     for (int i=1; i<=n; i++) {scanf("%lld",&a[i]),m+=(a[i]==-1); if (~a[i]) app[a[i]]=1;}
    16     for (int i=1; i<=n; i++) {
    17         b[i]=b[i-1]+(app[i]^1);
    18         if (~a[i]) {
    19             ans+=sum(n)-sum(a[i]);
    20             add(a[i]);
    21         }
    22     }
    23     ans=(ans%P)+1ll*m*(m-1)%P*748683265ll%P; //4^-1
    24     inv=pow(m,P-2); S=0;
    25     for (int i=1; i<=n; i++) {
    26         if (~a[i]) S+=b[a[i]];
    27         else ans=(ans+1ll*S*inv%P)%P;
    28     }
    29     S=0;
    30     for (int i=n; i; i--) {
    31         if (~a[i]) S+=m-b[a[i]];
    32         else ans=(ans+1ll*S*inv%P)%P;
    33     }
    34     printf("%lld\n",ans);
    35     return 0;
    36 }

     

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