模方程

　　对于 ax≡b( mod n ) 转化为 ax - ny = b , 当 d = gcd( a, n )  不是 d 的约数的时候不存在解，为何不存在解呢？

设 a = k1*d , n = k2*d .

那么式子可转化为 ：  d * (k1*x - k2*y) = b , 若 b % d != 0 ，即（ k1*x - k2*y ）无整数解。

　　否则，两边除以d ， 得到 a'x-n'y = b'  ,  即么 a'x≡b'(mod n')  ( 这里a'和n' 已经是互素的 )，两边再乘上一个

a' 在 n' 下的逆 ， 得到 x ≡ a'^(-1) * b' ( mod n' ) ....   然后要转化为在 n 剩余系中的元素。

      令 a'^(-1)*b' = p , 上述解相当于 x = p , p+n' , p+2*n' .......  对于模n来说，这无穷多个解里面有多少个等价类呢？

假定 p+i*n' 与 p+j*n' 同余，则 (p+i*n') - (p+j*n')  = (i-j) * n' 是 n 的倍数, 那么i-j必然是 d 的倍数 （ n' * d = n ）。

即，在模n的剩余系当中 ， ax≡b( mod n ) 的解有 d 个 ，为 p , p+n' ,p+2*n' ...... ,p+(d-1)*n' 。

[ p+d*n' 与 p 已经属于同一个等价类了]...

　　看完这里...突然想到之前做了一条 hdu 3579...

　　给出  n 个 ai , ri ... 都有 x≡ri ( mod ai )...求最小的x..

　　这个是中国剩余定理的加强..它没有给出  ri 之间互素的性质..

　　解法是两两解线性模方程..

　　对于两个方程,易得   a1*x - a2*y = r2 - r1 ...

　　设（r2-r1）= c , 通过扩展欧几里得解出 x 之后 ， 先判 d=gcd( a1,a2 ) 是否是c的约数..

　　各项除去d 得到   a1'*x - a2' *y = c' ... 转换后得到  a1'x ≡ c' ( mod a2' )....

　　然后两边乘上 a1'的逆元... 得到 x ≡ a1'^(-1) * c' ( mod a2' )...

　　那么要将 x 转化为在 mod a2 的时候的最小解.. 

　　此时..   x 在 mod a2' 的时候已经是a1' 的逆元... 

　　由求逆方法可以知道：

LL inv (LL a , LL n ) {
    LL d ,x , y ;
    e_gcd( a,n,d,x,y);
    return d == 1 ? (x+n)%n : -1 ;    
}

　　那么 ， 设 p = ( x * c' )   .. 那么 p ( mod a2' ) 就是 x 在 mod a2 的时候的最小解..

　　得证 ： a1 x=c (mod a2 )  的最小解 : x = ( x * ( c / d ) ) % n ...

　　那么在根据模方程来说

　　　　N == a1 *（ x + n *（ a2 / d ））+r1 ====  N=(a1 * a2 / d ) * n + (a1*x+r1) ..

　　　　n 为未知数 .. 即新方程  N = ( a1*x + r1 ) ( mod ( a1 * a2 / d ) ) ....

　　　　那么解到最后..剩下一方程..要令N最小 ... 那么 N 就是  ( a1*x + r1 ) 本身 ..

本证明纯属个人想法, 若有错误。希望能够指出~