Exercises
3.1-1
因为f(n)与g(n)是渐近非负的，所以存在
，使得f(n),g(n)>0，可以看出存在
，使得 + {
m{g}}left( {
m{n}}
ight)}}{2} le max { f(n),g(n)} le f(n) + g(n)$)
，所以可以证出max{f(n),g(n)}=Θ(f(n)+g(n))。
3.1-2
根据题意可知，
当
时成立，且
，当
时成立，因此存在
，使得当
时，
，因为b>0，所以^{
m{b}}} le {left( {{
m{n}} + {
m{a}}}
ight)^{
m{b}}} le {left( {2{
m{n}}}
ight)^{
m{b}}}$)
，因此存在^b},{c_2} = {2^b}$)
，使得^{
m{b}}} = {
m{Theta }}left( {{{
m{n}}^{
m{b}}}}
ight)$)
，证明完毕。
3.1-3
O(n)已经代表T(n)运行上界，最少是O(n)对于T(n)来说是无法达到的，所以是没有意义的。
3.1-4
1.因为$)
，所以成立。
2.不成立，假设成立的话，那么存在c，使得
，那么
，因为c是常数，n可以无限大，所以不可能成立，所以不成立。
3.1-5 略。
3.1-6
O符号给出的是运行的上界，Ω给出的是下界，若f(n)的上下界全是g(n)，那么必定有f(n)=Θ(g(n))。
3.1-7
假设其不为空，那么存在f(n)=(o(g(n))∩(ω(g(n))，也就是说f(n)=o(g(n))=ω(g(n),根据书中的定义，}}{{{
m{g}}left( {
m{n}}
ight)}} = 0$)
且}}{{{
m{g}}left( {
m{n}}
ight)}} = infty $)
，这里矛盾，所以不成立，必为空集。
3.1-8 略。
3.2-1 略。
3.2-2
证明如下：
3.2-3
1.欲证，只需证
，使得
，对于足够大的n，一定会有
，所以
时，即可成立。根据斯特林近似公式可得：
，故
，所以
，故
，所以
，因此当
，
，取
，所以存在正常数
时，
。
2.略。
3.略。
3.2-4
根据斯特林近似公式和阶数的相关关系即可求得。
3.2-5,6,7,8
略。
（若有错误和不足，欢迎大家积极指正！）