狄尔沃斯定理(Dilworth's theorem)

狄尔沃斯定理(Dilworth's theorem)

狄尔沃斯定理(Dilworth's theorem)亦称偏序集分解定理，是关于偏序集的极大极小的定理，该定理断言：对于任意有限偏序集，其最大反链中元素的数目必等于最小链划分中链的数目。此定理的对偶形式亦真，它断言：对于任意有限偏序集，其最长链中元素的数目必等于其最小反链划分中反链的数目。

对偶形式比较常见，下面将给出简明证明。

链：对于偏序集 \((S, \preceq)\) ，若 \(A\subset S\) 且 \(A\) 中元素均可以比较，则称 \(A\) 为链。
反链：对于偏序集 \((S, \preceq)\) ，若 \(A\subset S\) 且 \(A\) 中元素均不可以比较，则称 \(A\) 为反链。

注意反链并不代表在偏序集的 Hass 图中反向边构成的链。

设偏序集最长链长度为 \(n\)，则偏序集构造的反链划分中反链数 \(\ge n\)。这是由于若反链数 \(<n\)，则由抽屉原理知，至少有两个在同一条最长链的元素在一条反链中，与反链的定义相悖。

下用数学归纳法证 \(n\) 为不相交反链数下确界。

当 \(n=1\) 时，显然 \(S\) 中两两元素均不可比较，显然可得。

设 \(n=k\) 时，可将 \(S\) 划分为不相交的 \(k\) 个反链。

当 \(n=k+1\) 时，令 \(A\) 为 \(S\) 中极大元的集合，由极大元的定义，显然 \(A\) 构成一个反链。而 \(S-A\) 的最长链长度为 \(k\)（相当于把每条链末端元素拿走），则由 \(S-A\) 构造出 \(k\) 条不相交反链，\(A\cup S-A=\phi\)，\(A\) 肯定不与这 \(k\) 条反链相交，且这 \(k+1\) 条反链为 \(S\) 的一个划分。

则 \(k+1\) 条反链由此构造出来。证毕。

将对偶形式证明完之后，可以把可比较与不可比较的定义交换（两个元素中只能存在两个中的一个关系），即可将反链的构造为新的链，代入对偶形式即可证得最长反链长度等于最小链划分中链的数目。