洛谷今日份：宜打chunithm（您虹了），sdvx（您暴了）
今日又是课件非常丰富份，本文仅作批注
首先要理解群，环，域的概念（这个会再提一次）
几个代数结构
群 是一个集合加上一个运算
环 定义了两种运算的非空集合，满足加法分配律和乘法结合律、分配律
幺环 有单位元的环
域 设F是一个有单位元e1（≠0）的交换环（满足乘法交换律的幺环）。如果F中每个非零元都可逆，称F是一个域。
也可以理解为能够做四则运算，对于四则运算得到的结果还在域内（封闭）的幺环
质因子分解
素性测试
- 试除法
- Miller-Rabin
板子等到血书要到了再补，没有就补一个自己的小菜板
- AKS算法 右转某度百科
质因子分解
- 试除法，复杂度 O((sqrt n))，太慢了。
- Pollard’s Rho，期望复杂度 O((^{4}sqrt{n} log n))，又名启发式分解。
数论
GCD & ExGCD
我相信你们已经完全会了
类欧几里得算法
解决类似于这样的问题
把它移项一下之后递归，具体见课件
关于课件里有几个名词问了一下数竞玩家：
hjmmm:环是什么？
念去去:环是一个定义了两种运算的群，满足加法分配律和乘法结合律、分配律。就是说在环这个范围内，+运算和×运算都是可以进行的。环具体是什么要具体问题具体分析。如果是mod5的，那么就是0-4。
hjmmm:明白辽。。emm那群是什么
念去去:就是进行某一种运算的范围。对于不同运算规则，群是可能不相同的。比如同余运算的群一般是整数
hjmmm:明白辽。。emm什么叫模合数的环？它和模质数的有什么区别？
念去去:膜质数简单，膜质数可以用更多的定理。Lucas定理 威尔逊定理之类的。对于有的概率运算 膜合数的结果和膜质数的不一样。这个我也不太清楚了。。。
hjmmm:好的 感谢vq
中国剩余定理 CRT&ExCRT
这里放一下r爷举的ExCRT的栗子
(x = 3 (mod 12), x = 7 (mod 8))
(x = 3 (mod 4))
(x = 4k + 3 mod(lcm(12, 8)))
(k = 0 (mod 3), k = 1 (mod 2))
把k解出来之后 把两个方程合并成一个mod(lcm(p1, p2))的方程
费马小定理
p 是质数，则 (a^p ≡ a (mod p))
欧拉定理
p > 1，a, p 互质，则 (a^{ϕ(p)} ≡ 1 (mod p))
- 缩系：和x互质的所有数的集合
扩展欧拉定理
$p > 1，n ≥ ϕ(p) 存在 a^n ≡ a^{n mod ϕ(p)+ϕ(p)} (mod p)
离散对数问题
BSGS
求(A^x ≡ B (mod C))
ExBSGS
A, B, C一起除以gcd(A, C)
原根相关
循环群：指群可以由一个元素生成：(G = x, x^2, x^3 ...)。
阶：满足 (x^d = 1)的最小正整数 d。记为 ord(x)。
$x^m = 1 $当且仅当 (ord(x)|m)。
模素数 p 的剩余类构成一个有限域。
模 m 意义下与 m 互质的元素组成缩系，大小为 ϕ(m)。
原根：能生成缩系的元素，即 (x^i) 两两不同(（0 ≤ i < ϕ(m)))的 x。原根不一定存在。事实上，当且仅当 (m = 2, 4, p^k,2∗p^k) 时，模 m 缩系的原根存在。p 是任意奇质数。
Fact: 设 a 的阶是 m，(d|m)，则 (a^d) 的阶是 (frac{m}{d}) 。
Fact: 设 a 的阶是 m，b 的阶是 n，则必存在一个数，阶是 (lcm(n, m))
Fact: n 个元素的循环群的生成元个数为 ϕ(n)。
好，相信看到这里你已经懵了
宛转表达：这个时候我们需要拉一个数竞党让他来证一遍
直接说明：咕咕咕
二次剩余
((frac{a}{p}))表示 a 是模 p 域下的二次剩余，-1 表示是二次非剩余
p.s. LeTaX打法：(frac{a}{p})
计算：((frac{a}{p}) = a^{frac{p - 1}{2}} (mod p))
二次互反律：((frac{p}{q})(frac{q}{p})=(-1)^{frac{(p-1)(q - 1)}{4}})
二次剩余计算方法：原根法 / Cipolla算法
Cippolla：
rand一个a使得(a^2 - n)是二次非剩余
设(w = sqrt{a^2 - n})，(x + yw)形成一个域（(x + yw)是mod P域的扩域）
二次剩余解为((a + w)^{frac{p + 1}{2}})
关于证明，注：mod P下有性质 ((a + b)^P = a^P + b^P (mod P))
关于证明((a + w)^{frac{p + 1}{2}})不含(w)项，注：((a^2 - w) = frac{n}{y^2})
-
跳跳棋
注意按照规则，一个状态只有三种转移（向里跳，中间棋子向左跳或向右跳）
这样的话我们把第一种情况作为父亲，后两种作为儿子
然后对于(a, b, c)，如果有(b - a > c - b)
那么(a, b, c)到父亲的距离就是(lfloor frac{b - a}{c - b} floor)
-
Power Tower
(a_{l}^{a_{l + 1}^{...^{a_{r}}}})这个东西直接暴力就好啦
只要下面变成1了就不用乘了
-
Chinese Leftover Ⅱ
(a_1 + (a_2 - a_1) * p_1 * inv(p_1, p_2) （mod p_1p_2))
(F(i , j) = F(i - 1, j) + (a_2 - a_1) * inv(p1, p2) mod p2 * p1)
感觉别的题ppt写的很清楚啊
数论函数
从这里开始，一定要手推！一定要手推！一定要手推！
hjmmm:陪域是什么qvq
"数论函数：定义域为正整数集，陪域为复数域的函数。"
念去去:值域是陪域的一部分，值域是定义域映射到的陪域的那部分。
hjmmm:那陪域有什么用
念去去:人家没告诉你映射，比如说从整数集映到复数集，这个“复数集”就是陪域，相当于把我们高中习惯的叫法更严谨了。
hjmmm:所以陪域只要包含值域，是什么都行咯？
念去去:最起码。。。最起码作业帮是这个意思。所以陪域这个东西在这里就有点鸡肋了。。。
两个数论函数的迪利克雷卷积：（符号为*）
满足：
交换律：f ∗ g = g ∗ f
结合律：(f ∗ g) ∗ h = f ∗ (g ∗ h)
分配律：f ∗ (g + h) = f ∗ g + f ∗ h
单位元：
若 f**, g 是积性函数则 f ∗ g 也是积性函数。
一些性质：
- 若 g = f ∗ 1，则 f = g ∗ µ
这个主要是用到(sum_{d | n} mu(d) = sum_{S subset T} (-1)^{|S|} = sum_{i = 0}^{n} binom{n}{i}(-1)^i = (1-1)^n = 0)
所以(sum_{d | n} mu(d) = [n = 1])
同时(mu * 1 = epsilon)（为了方便各位，(epsilon)的LaTeX是epsilon）
(epsilon)函数是单位元，有f ∗ ϵ = f
于是我们收获：
- (σ_k = Id_k ∗ 1，Id_k = σ_k ∗ µ)
注：(σ_k)(n)表示n的约数的k次方之和，(Id(n))表示n的k次方
- (Id_1 = ϕ ∗ 1，ϕ = Id_1 ∗ µ)
注：(Id_1) = {1, 2, 3, ..., k}
莫比乌斯反演和杜教筛
真的打公式快。死。了。
以后再填坑qvq
Min25筛
如果有不理解的地方可以参考：
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对于ppt中的Part1 Part2 分别求解了质数范围和全部范围的积性函数前缀和
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那个(T(n))是要求的积性函数
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Part1中的F函数其实筛到最后，对于每一个j，只需要F(i, j)
其中i为最小的i使得(p_i^2 > n)
Part2中的F(i)默认忽略了第一维
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注意F(i, j)的第二维只有(sqrt{n})级别
这(k*sqrt{n})个数（k为常数）中，包含了1到(sqrt{n})
所以Part1转移式中那个"(F(i - 1, p_{i - 1}))"不必担心不在范围内
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Part1的F是从小到大转移的 Part2中的S是从大到小转移的
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Part2答案式中S(1, n) + 1最后的加一加的是T(1)
（积性函数T(1) = 1）
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Part2递推式中(T(p_{j}^{e+1}))只是表示指数从2开始累计
因为(T(p_j))已经在质数中累计过了
解释一下递推式
- Part1
(F(i, n) = F(i - 1, n) - T(p_i)(F(i - 1, lfloor frac{n}{p_i} floor) - F(i - 1, p_{i - 1})))
(F(i - 1, n))很显然是最小质因子大于等于(p_i)的数或者质数
要去掉最小质因子恰好是(p_i)的数
所以先取出(p_i)
(F(i - 1, lfloor frac{n}{p_i} floor))表示不大于(lfloor frac{n}{p_i} floor)最小质因子大于等于(p_i)的数 或者 质数
前者乘上(p_i)之后 最小质因子必然是(p_i)
为了除掉后者 还要减去$ F(i - 1, p_{i - 1})$
小于等于(p_{i -1})最小质因子还是(p_{i- 1})的合数并不存在
所以只去掉了被计算的质数
- Part2
$T(p_j^e) * S(j + 1, lfloor frac{n}{p_j^e} floor) + T(p_j^{e + 1}) $
前半段先取出(p_i) 计算最小质因子为(p_j)的合数
后半段计算(p_j)的多次幂
模板题链接