Cholesky 分解是把一个对称正定的矩阵表示成一个下三角矩阵L和其转置的乘积的分解。
它要求矩阵的所有特征值必须大于零，故分解的下三角的对角元也是大于零的。
Cholesky分解法又称平方根法，是当A为实对称正定矩阵时，LU三角分解法的变形。
通过直接比较A=L*L^T两边的对应元素来计算L，其中L^T为L的转置。
思路如下：
L为一实下三角矩阵，求L的步骤如下：
1、Amn = Lm1*Ln1 + Lm2*Ln2 + ... + Lmx*Lnx其中x = min(m,n)
2、Umn = Amn - sum(Lmk*Lnk) 其中k ~ (0, min(m,n))，Umn包含Lmn*Lnn
3、当m < n时，由于是下三角矩阵，所以Umn为0，仅求m >= n的情况
4、如果 m == n 时 Lmn = sqrt(Umn)，否则，Lmn = Umn / Lnn
5、即求出Lmn的值
根据此思路的代码实现如下：
public class MyCholeskyDecomposition {
/**
* 2.0000000000 0.0000000000 0.0000000000
* 0.5000000000 1.3228756555 0.0000000000
* 0.5000000000 2.0788046016 1.1952286093
* @param args
*/
public static void main(String[] args) {
double[][] A = {{4.,1.,1.},{1.,2.,3.},{1.,3.,6.}};
double[][] L = new double[3][3];
for(int m = 0; m < A.length; m++){
for(int n = 0; n <= m; n++){
L[m][n] = A[m][n];
for(int k = 0; k < n; k++){
L[m][n] -= L[m][k] * L[n][k];
}
if(m == n){
L[m][n] = Math.sqrt(L[m][n]);
}else{
L[m][n] = L[m][n] / L[n][n];
}
}
for(int x = m + 1; x < A.length; x++){
L[m][x] = 0.0;
}
}
for(int i = 0; i < L.length; i++){
for(int j = 0; j < L.length; j++){
System.out.print(L[i][j] + " ");
}
System.out.println();
}
}
}
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