题目描述
输入
一行，包含两个整数N，M。
输出
1个整数，FHT(N,M) mod 1000000007的值。
样例输入
3 4
样例输出
1
数据范围
对于 40% 的数据，1 ≤ N，M ≤ 1000
对于 60% 的数据，1 ≤ N，M ≤ 10^6
对于 100% 的数据，1 ≤ N，M ≤ 10^9
解法
答案=ans(n)*ans(m) (其中ans(n)=sigma(n%i))；
那么现在只用考虑ans(n)怎么求。
ans(n)=sigma(n mod i)
=sigma(n-i*(n div i))
=n^2-sigma(i)*sigma(n div i)
由于sigma(n div i)最多只有n^0.5种取值。所以可以分段计算。
证明：
令i=1..n^0.5，那么对应的n div i区间就在[n^0.5,n]，所以约数最多有2*n^0.5个。
代码
#include<iostream>
#include<stdio.h>
#include<math.h>
#include<string.h>
#include<algorithm>
#define ll long long
#define sqr(x) ((x)*(x))
#define ln(x,y) int(log(x)/log(y))
using namespace std;
const char* fin="aP1.in";
const char* fout="aP1.out";
const int inf=0x7fffffff;
const int mo=1000000007;
int read(){
int x=0;
char ch=getchar();
while (ch<'0' || ch>'9') ch=getchar();
while (ch>='0' && ch<='9') x=x*10+ch-'0',ch=getchar();
return x;
}
int n,m,i,j,k;
ll ans,tmp;
ll work(int a,int b){
ll i,j=1,k=0,num,tmp,st=a;
while (a){
num=(a-b)/(j+1)+((a-b)%(j+1)?1:0);
if (num<=100) {
break;
}
tmp=b+num*j-j;
k=(k+(b+tmp)*num/2)%mo;
a-=num;
b=(tmp+j)%a;
j++;
}
for (;a;a--) k=(k+(st%a))%mo;
return k;
}
int main(){
scanf("%d%d",&n,&m);
ans=(work(n,0)*work(m,0))%mo;
printf("%lld",ans);
return 0;
}启发
n%i=n-n div i*i。
当i=1..n时，n div i最多有n^0.5个取值，所以可以分段计算。