【算法复习】求解递归式的方法

 求解递归式的方法

【代入法】

• 代入法求解分为两步：
  • 猜测解的形式
  • 用数学归纳法求出解的常数C，并证明正确性，关键步骤是用猜测的解代入到递归式中。
• 做出好的猜测（没有一般方法，只能凭经验）
  • 与见过的解类似，则猜测之。
  • 先证较宽松的上、下界，减小猜测范围。我们可以从下界Ω(n)开始，上界O(n^2)，然后逐渐收敛至(nlog2n)
• 细节修正
  • 有时猜测解是正确的，但数学归纳法却不能直接证明其细节，这是因为数学归纳法不是强大到足以证明其细节。
  • 这时可从猜测解中减去一个低阶项以使数学归纳法得以满足
• 避免陷阱
  • 与求和式的数学归纳法类似，证明时渐近记号的使用易产生错误。
  • 如：证明O(n)时必须严格证明≤cn，不能讲其换做cn+n
• 变量变换
  • 有时改动变量能使未知递归式变为熟悉的式子。例如：
  • 

【代入法例题】

【递归树法】

• 递归树最适合用来生成好的猜想，然后可用代入法来验证猜测是否正确
• 需要关注：
  • 达到边界条件所需的迭代次数
  • 迭代过程中的和式。若在迭代过程中已估计出解的形式，亦可用代入法

 【递归树法例题】

【Master原理】

•  Master定理也叫主定理。它提供了一种通过渐近符号表示递推关系式的方法。应用Master定理可以很简便的求解递归方程。

 

定理4.1（主定理） 令a≥1和b>1是常数，f(n)是一个函数，T(n)是定义在非负整数上的递归式：

　　　　　　　　　　　　　　T(n) = aT(n/b) + f(n)

其中我们将n/b解释为。那么T(n)有如下渐近界：

　　

主定理的三种情况，经过分析，可以发现都是把f(n)与比较。

第一种情况是更大，第二种情况是 与f(n)相等，第三种情况是f(n)更大。

【主定理例题】