[算法][庞果网]倒水问题/量水问题

题目要求

有两个容器，容积分别为A升和B升，有无限多的水，现在需要C升水。
我们还有一个足够大的水缸，足够容纳C升水。起初它是空的，我们只能往水缸里倒入水，而不能倒出。
可以进行的操作是：
把一个容器灌满；
把一个容器清空（容器里剩余的水全部倒掉，或者倒入水缸）；
用一个容器的水倒入另外一个容器，直到倒出水的容器空或者倒入水的容器满。
    问是否能够通过有限次操作，使得水缸最后恰好有C升水。

输入：三个整数A, B, C，其中 0 < A , B, C <= 1000000000
输出：0或1，表示能否达到要求。

函数头部：
c语言：1表示可以，0表示不可以
int can(int a,int b,int c);
c++语言: true表示可以，false表示不可以
bool can(int a,int b,int c);
java语言:true表示可以，false表示不可以
public class Main {
    public static boolean can(int a,int b,int c);
}

解题思路

这是一个典型的倒水问题/量水问题，使用欧几里得算法就可解出来。

 

这里有一篇文章给出了简单的倒水问题的解法，可以解决笔试面试里面一些简单的填空题，可以看一看：http://blog.csdn.net/morewindows/article/details/7481851

基本思想是：不断用小桶装水倒入大桶，大桶满了立即清空，每次判断下二个桶中水的容量是否等于指定容量。也就是用小桶容量的倍数对大桶的容量进行取余，直到余数等于指定容量。

例如，用7升的桶和11升的桶得到2升水可以这样做：
7 % 11 = 7
14 % 11 = 3
21 % 11 = 10
28 % 11 = 6
35 % 11 = 2  成功得到2升水。

对于明确说明可以得到xx升水，需要我们给出如何倒出来的步骤，可以用这个方法，很快捷。但是这个方法不适合解这道题。

 

欧几里德算法又称辗转相除法，用于计算两个正整数a，b的最大公约数。

用gcd(a,b) 表示a, b的最大公约数，则有定理：gcd(a,b) = gcd(b,a mod b) (a>b 且a mod b 不为0)

具体的算法实现有循环和递归两种，我用的是循环的方法。

 

扩展欧几里得算法
定理：对于不完全为 0 的非负整数 a,b，gcd(a, b)表示 a, b 的最大公约数，必然存在整数对 x, y ，使得 gcd(a,b)=ax+by。

 

本题实际上是问是否存在整数x, y，使得ax+by=c成立。如果c可以被gcd(a,b)整除，则成立。

 

因此解题步骤如下：

1. 求出gcd(a,b)
2. 判断c是否能被gcd(a,b)整除，若能则返回true，否则返回false

Java代码

public static boolean can(int a,int b,int c) {
    int r;
    while (true) {
        r = a % b;
        if (r != 0) {
            a = b;
            b = r;
        } else {
            break;
        }
    } 
    return c%b == 0;    //b现在是最大公约数，若c能被b整除，则可以
}