古代猪文

古代猪文

# 题意

给定$n$，$q$，求$q^{Sigma operatorname{din} C_{n}^{d}} mod p$，$p=999911659$

$1 leqslant n, q leq 10^{9}$

# 题解

就是对$n$的每一个正约数$d$，求$C_{n}^{d}$,因为$1 leqslant n, q leq 10^{9}$，所以不会有p的倍数，

所以只有$q=p$的时候原式才为$0$,所以当$q!=p$时，欧拉降幂$q^{Sigma_{d m} c_{n}^{d}} equiv q^{Sigma_{d m} C_{n}^{d} \% p-1}(mod p)$

降幂后$p$非质数用$ExLucas$即可，将$p-1$分解质因数后为$2$、$3$、$4679$、$35617$，对于每个质因数，预处理所有阶乘，

每次$Lucas$的复杂度是$Oleft(log _{p} N imes p  imes log p ight)$

#include <bits/stdc++.h>
#define ll long long
using namespace std;
const int mod=999911658;
ll n,q;
ll a[5],b[5]={0,2,3,4679,35617};
ll v[50010];
void init(ll p){
    v[0]=1;
    for(ll i=1;i<=p;i++){
        v[i]=v[i-1]*i%p;
    }
}
ll qmi(ll a,ll b,ll p){
    ll res=1;
    while(b){
        if(b&1) res=res*a%p;
        a=a*a%p;
        b>>=1;
    }
    return res;
}
ll exgcd(ll a,ll b,ll &x,ll &y){
    if(!b){
        x=1,y=0;
        return a;
    }
    ll d=exgcd(b,a%b,y,x);
    y-=(a/b)*x;
    return d;
}
vector<ll> get_divisor(ll n){
    vector<ll>res;
    for(ll d =1 ;d<=n/d;d++){
        if(n%d==0){
            res.push_back(d);
            if(d*d!=n)
                res.push_back(n/d);
        }
    }
    sort(res.begin(),res.end());
    return res;
}
ll CRT(){
    ll M=1;
    for(int i=1;i<=4;i++){
        M*=b[i];
    }
    ll res=0;
    for(int i=1;i<=4;i++){
        ll x,y;
        ll tmp=M/b[i];
        exgcd(tmp,b[i],x,y);
        res=(res+tmp*x*a[i])%M;
    }
    return ((res+M)%M)%M;
}
ll C(ll n, ll m, ll p){
    if(n<m) return 0;if(!n) return 1;
    return v[n] * qmi(v[m],p-2,p) % p * qmi(v[n-m],p-2,p)%p;
}
ll lucas(ll n,ll m,ll p){
    if(n<m) return 0;if(!n) return 1;
    if(n<p&&m<p) return C(n,m,p);
    return (ll)C(n%p,m%p,p)*lucas(n/p,m/p,p)%p;
}
int main(){
    cin>>n>>q;
    if(q==mod+1) {
        puts("0");return 0;
    }
    auto d=get_divisor(n);
    for(int i=1;i<=4;i++){
        init(b[i]);
        for(int j=0;j<d.size();j++){
            a[i]=(a[i]+lucas(n,d[j],b[i]))%b[i];
        }
    }
    ll ans=CRT();
    cout<<qmi(q,ans,mod+1)<<endl;
}