表达整数的奇怪方式（EXCRT

# 题意

给定2n个整数，a₁ , a₂ , ...... , a_{n 、}m₁ , m₂ , ...... , m_n,

求一个最小的正整数x，满足∀ 1≤i≤n , x ≡  m_i (mod a_i)

如果不存在解输出"-1"，否则输出最小的正整数x

数据范围：

1 ≤ a_i ≤ 2³¹-1

1 ≤ m_i < a_i

1 ≤ n ≤ 25

# 题解

先考虑前两个式子:

x ≡  m₁ (mod a₁) ↔ x = k₁ * a₁ + m₁

x ≡  m₂ (mod a₂) ↔ x = k₂ * a₂ + m₂

k₁ * a₁ + m₁ =  k₂ * a₂ + m₂

k₁ * a₁ -k₂ * a₂ = m₂-m1

判断一下有没有解即 gcd(a₁,a₂) ｜(m₂-m1) 是否成立

扩展欧求出 k₁ * a₁ -k₂ * a₂ = gcd(a₁,a₂) 的解k₁''和k₂''

k₁'=k₁'' * (m2-m1)/gcd(a₁,a₂) 

k₂'=k₂'' * (m2-m1)/gcd(a₁,a₂) 

由x = k₁ * a₁ + m₁或x = k₂ * a₂ + m₂都可以得到x的通解

其中k₁通解=k₁ + k* (a₂/gcd(a₁,a₂))显然k₁取得最小值的时候x最小

但是在和后面的式子合并的时候有了新的约束，

x的最小值可能会改变所以先不具体求出x，

用得到的k₁或k₂的通解构成一个新的同余等式

将k₁通解=k₁' + k* ( a₂/gcd(a₁,a₂) )带入x = k₁ * a₁ + m₁

x = ( k₁' + k* ( a₂/gcd(a₁,a₂) ) ) * a₁ + m₁

x = k * ( a₁ * a₂ )/gcd(a₁,a₂) + k₁'*a₁+m₁

a'=( a₁ * a₂ )/gcd(a₁,a₂) , m'=k₁'*a₁+m₁

x = k * a' + m'

x = k₃ * a₃ + m₃

不断的合并到k-1，根据k的通解求得最小的x，

k = k₀ + t * (a_n/gcd(a',a_n)) 

显然k₀ % (a_n/gcd(a',a_n)) 即最小的解

 

#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
using namespace std;
ll n;
ll exgcd(ll a,ll b,ll &x,ll &y){
    if(b==0){
        x=1;y=0;
        return a;
    }
    ll d=exgcd(b,a%b,y,x);
    y-=(a/b)*x;
    return d;
}
int main(){
    cin>>n;
    ll a1,m1;
    cin>>a1>>m1;
    for(int i=0;i<n-1;i++){
        ll a2,m2,k1,k2;
        cin>>a2>>m2;
        ll d=exgcd(a1,a2,k1,k2);//式子中的a2系数当作正数传入，得到的k可能为负数
        if((m2-m1)%d) {puts("-1");return 0;}
        k1*=(m2-m1)/d;//由裴蜀定理的解转化为方程解
        ll t=(a2/d);
        k1=(k1%t+t)%t;//对负数取模
        m1=k1*a1+m1;
        a1=a1/d*a2;
    }
    cout<<(m1%a1+a1)%a1<<endl;
    return 0;
}