2021杭电多校第一场题解

A

发现一个数可以作为模数当且仅当该数<=(n-1)/2，然后取(n-1)/2的最高位然后是2^x-1即可

B

对于圆这种难处理的东西，我们可以用KD-Tree来维护，这个思维比较好想，但代码难写，先放着有时间填坑

C

数据范围是个坑人的玩意！

很容易知道环上的点度数都是2，而每个环没有重边，说明图中要是均为环，当且仅当每个点的度数都是偶数。而有数字的方格也是一个限制。对于奇偶性的限制，可以考虑解异或方程组，把每条边当成一个未知数即可。解方程可能会TLE，于是可以用bitset优化，时间复杂度O(n^3m^3/w)

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=1e3,mod=998244353;
int n,m,tot,num,idx[N][N],idy[N][N];
char s[N];
bitset<N>a[N];
int main()
{
    int T;scanf("%d",&T);
    while(T--)
    {
        scanf("%d%d",&n,&m);
        tot=num=0;
        for(int i=1;i<=n;++i)for(int j=1;j<m;++j)idx[i][j]=++tot;
        for(int i=1;i<n;++i)for(int j=1;j<=m;++j)idy[i][j]=++tot;
        ++tot;
        for(int i=1;i<=n;++i)
        for(int j=1;j<=m;++j)
        {
            a[++num].reset();
            if(i>1)a[num][idy[i-1][j]]=1;
            if(j>1)a[num][idx[i][j-1]]=1;
            if(i<n)a[num][idy[i][j]]=1;
            if(j<m)a[num][idx[i][j]]=1;
        }
        for(int i=1;i<n;++i)
        {
            scanf("%s",s+1);
            for(int j=1;j<m;++j)
            if(s[j]!='.')
            {
                a[++num].reset();
                a[num][idx[i][j]]=a[num][idx[i+1][j]]=a[num][idy[i][j]]=a[num][idy[i][j+1]]=1;
                a[num][tot]=s[j]-'0';
            }
        }
        int pos=1;
        for(int j=1;j<tot;++j)
        {
            int x=0;
            for(int i=pos;i<=num;++i)if(a[i][j]){x=i;break;}
            if(!x)continue;
            if(x!=pos)swap(a[pos],a[x]);
            for(int i=1;i<=num;++i)if(i!=pos&&a[i][j])a[i]^=a[pos];
            ++pos;
        }
        int ans=1;
        for(int i=pos;i<=num;++i)if(a[i].any()){ans=0;break;}
        for(int i=pos;i<tot;++i)ans=ans*2%mod;
        printf("%d
",ans);
    }
}

E

如果x为质数向2连边，否则向其中一个约数连边。质数可以用线性筛处理，然后用前缀和统计。时间复杂度O(n)，代码略。

F

类似十二省联考异或粽子的写法，建立字典树，每个节点表示最后出现的位置，然后建立字典树前查询即可。

时间复杂度O(30n)

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=1e5+7;
int n,k,cnt,l,r,ch[N*30][2],pre[N*30];
void build(int x,int id)
{
    int u=1,op;
    pre[u]=id;
    for(int i=29;~i;--i)
    {
        op=(x>>i)&1;
        if(!ch[u][op])ch[u][op]=++cnt;
        u=ch[u][op];
        pre[u]=id;
    }
}
void find(int x,int id)
{
    int u=1,mx=-1,op,pos;
    for(int i=29;~i;--i)
    {
        op=(x>>i)&1,pos=(k>>i)&1;
        if(!pos)mx=max(mx,pre[ch[u][op^1]]);
        u=ch[u][op^pos];
        if(!u)break;
    }
    mx=max(mx,pre[u]);
    if(mx!=-1&&id-mx<r-l)l=mx,r=id;
}
int main()
{
    int T;scanf("%d",&T);
    while(T--)
    {
        scanf("%d%d",&n,&k);
        pre[0]=-1;
        for(int i=1;i<=n*30+1;++i)ch[i][0]=ch[i][1]=0,pre[i]=-1;
        l=0,r=n+1,cnt=1;
        build(0,0);
        int now=0;
        for(int i=1,x;i<=n;++i)
        {
            scanf("%d",&x),now^=x;
            find(now,i);
            if(i<n)build(now,i);
        }
        if(r==n+1)puts("-1");else printf("%d %d
",l+1,r);
    }
}

G

f[i]=(n-2)f[i-1]+(n-1)f[i-2]，推式子可以得到f[t]=((n-1)^t+(n-1)*(-1)^t)/n

然后分奇偶性讨论可以变成(n-1)^(2a)=b，使用BSGS即可解决

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const ll mod=998244353;
ll n,x,B;
unordered_map<ll,ll>mp;
ll qpow(ll a,ll b)
{
    ll ret=1;
    while(b)
    {
        if(b&1)ret=ret*a%mod;
        a=a*a%mod,b>>=1;
    }
    return ret;
}
int main()
{
    int T;scanf("%d",&T);
    B=sqrt(mod);
    while(T--)
    {
        scanf("%lld%lld",&n,&x);
        x=x*n%mod*qpow(n-1,mod-2)%mod;
        mp.clear();
        mp[1]=0;
        ll f1=(x+mod-1)*(n-1)%mod,f2=(x+1)%mod,base=(n-1)*(n-1)%mod;
        if(f1==1){puts("0");continue;}
        if(f2==1){puts("1");continue;}
        ll p=1,ans=-1;
        for(int i=1;i<=B;i++)
        {
            p=p*base%mod;
            mp[p]=i;
            if(f1==p){ans=2*i;break;}
            if(f2==p){ans=2*i+1;break;}
        }
        if(ans!=-1){printf("%lld
",ans);continue;}
        p=qpow(p,mod-2);
        for(ll k=1,pw=p;k*B<mod;k++,pw=pw*p%mod)
        {
            if(mp.count(f1*pw%mod)){ans=2ll*(k*B+mp[f1*pw%mod]);break;}
            if(mp.count(f2*pw%mod)){ans=2ll*(k*B+mp[f2*pw%mod])+1;break;}
        }
        printf("%lld
",ans);
    }
}

H

转化为0,1矩阵，每个位置1代表比上面小，然后用悬线法求最大01矩阵即可

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=5005;
int n,m,ans,tot,a[N][N],b[N][N],h[N],q[N];
int main()
{
    int T;scanf("%d",&T);
    while(T--)
    {
        scanf("%d%d",&n,&m);
        for(int i=1;i<=n;i++)
        for(int j=1;j<=m;j++)
        {
            scanf("%d",&a[i][j]);
            b[i][j]=(i==1)?0:(a[i][j]>=a[i-1][j]);
        }
        for(int i=1;i<=m;i++)h[i]=0;
        ans=0;
        for(int i=1;i<=n;i++)
        {
            for(int j=1;j<=m;j++)if(!b[i][j])h[j]=1;else h[j]++;
            tot=h[m+1]=0;
            for(int j=1;j<=m+1;j++)
            {
                while(tot&&h[q[tot]]>h[j])
                {
                    ans=max(ans,(j-q[tot-1]-1)*h[q[tot]]);
                    --tot;
                }
                q[++tot]=j;
            }
        }
        printf("%d
",ans);
    }
}

I

签到题，按照kruskal的加边方式，从小到大加边，注意考虑边权相同的情况即可

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=1e5+7,M=5e5+7;
struct edge{int x,y,z;}e[M];
int n,m,k,fa[N];
bool cmp(edge a,edge b){return a.z<b.z;}
int find(int x){return x==fa[x]?x:fa[x]=find(fa[x]);}
int main()
{
    int T;scanf("%d",&T);
    while(T--)
    {
        scanf("%d%d%d",&n,&m,&k);
        for(int i=1;i<=m;i++)scanf("%d%d%d",&e[i].x,&e[i].y,&e[i].z);
        for(int i=1;i<=n;i++)fa[i]=i;
        sort(e+1,e+m+1,cmp);
        int num=n,D=1e9+7;
        bool flag=1;
        if(k==n)D=0;
        for(int i=1;i<=m&&D;i++)
        {
            int x=e[i].x,y=e[i].y,z=e[i].z;
            x=find(x),y=find(y);
            if(x!=y)
            {
                if(num==k+1)D=z;
                else if(num<=k)
                {
                    if(z<=D)flag=0;
                    break;
                }
                fa[x]=y,--num;
            }
        }
        if(!flag||D==1e9+7)puts("-1");else printf("%d
",D);
    }
}

J

询问是1e5次，而且没有修改，所以是裸的莫队，代码略

持续更新中……