扩展欧几里德算法求不定方程

扩展欧几里得算法是数论当中一种常用的算法，他可以用如下的姿势来表达：

设a, b为不全为0的整数，则存在整数x和y，使得 gcd(a, b) = a*x + b*y。

扩展欧几里得算法的代码实现：

#include <cstdio>
#include <cstring>
#define ll long long

using namespace std;

ll extend_gcd(ll a, ll b, ll &x, ll &y)
{
    if(b == 0)
    {
        x = 1, y = 0;
        return a;
    }
    else
    {
        ll r = extend_gcd(b, a%b, y, x);
        y -= x*(a/b);
        return r;
    }
}

这个函数的时间复杂度为O(logN)， 其中N与a, b同阶。函数的参数a, b即为等式当中的两个参数，x和y传引用，可以从过程当中求出x和y，返回值是gcd(a, b)。

　　调用后可以求出满足a*x + b*y = gcd(a, b)的各个参数。

 这个一直没搞清楚，今天算是透彻的学习了一下，终于搞清楚最小整数解的由来，分享一下别人博客的经验和自己的。

对于形如a*x₀ + b*y₀ = n的不定方程为了求解x₀和y_0，可以通过扩展欧几里得先求出满足a*x + b*y = gcd(a, b)的x和y。容易得到，若gcd(a, b)|(x-y)（（x-y）%gcd（a,b）==0），则该不定方程有整数解，否则无符合条件的整数解。得到x和y后，可以通过x₀ = x*n / gcd(a, b)这个x₀相当关键，求出x₀.

　在实际问题当中，我们需要的往往是最小整数解，我们可以通过下面的方法求出最小整数解：

　　　　令t = b/gcd(a, b)，x是方程a*x + b*y = n的一个特解，则x_min = (x % t + t) % t

下面看一道题，poj 1061--青蛙的约会

题目：http://acm.hust.edu.cn/vjudge/problem/10755

青蛙的约会

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Description

两只青蛙在网上相识了，它们聊得很开心，于是觉得很有必要见一面。它们很高兴地发现它们住在同一条纬度线上，于是它们约定各自朝西跳，直到碰面为止。可是它们出发之前忘记了一件很重要的事情，既没有问清楚对方的特征，也没有约定见面的具体位置。不过青蛙们都是很乐观的，它们觉得只要一直朝着某个方向跳下去，总能碰到对方的。但是除非这两只青蛙在同一时间跳到同一点上，不然是永远都不可能碰面的。为了帮助这两只乐观的青蛙，你被要求写一个程序来判断这两只青蛙是否能够碰面，会在什么时候碰面。  我们把这两只青蛙分别叫做青蛙A和青蛙B，并且规定纬度线上东经0度处为原点，由东往西为正方向，单位长度1米，这样我们就得到了一条首尾相接的数轴。设青蛙A的出发点坐标是x，青蛙B的出发点坐标是y。青蛙A一次能跳m米，青蛙B一次能跳n米，两只青蛙跳一次所花费的时间相同。纬度线总长L米。现在要你求出它们跳了几次以后才会碰面。 

Input

输入只包括一行5个整数x，y，m，n，L，其中x≠y < 2000000000，0 < m、n < 2000000000，0 < L < 2100000000。

Output

输出碰面所需要的跳跃次数，如果永远不可能碰面则输出一行"Impossible"

Sample Input

1 2 3 4 5

Sample Output

4

Source

浙江

 

当两只青蛙跳t步后，A的坐标为x+mt-p₁L(p₁∈Z且x+mt-p₁L<L)，B的坐标为y+nt-p₂L(p₂∈Z且y+nt-p₂L<L)， A和B相遇的充分必要条件是x+mt-p₁L = y+nt-p₂L。

整理可得 (x-y) + (m-n)t = (p1-p2)L， 即 (n-m)t + (p1-p2)L = x-y

设p = p1 - p2 整理得 (n-m) * t + L * p = x-y

看出a * x + b * y = gcd(a, b)的样子了没？

 

调用extend_gcd(n-m, L, t, p)可以算出gcd(n-m, L), t, p。之后再用上面的方法算出最小整数解就可以了。

 

#include <cstdio>
#include <cstring>
#define ll long long
using namespace std;
ll egcd(ll a, ll b, ll &x, ll &y)
{
    if(b == 0)
    {
        x = 1, y = 0;
        return a;
    }
    else
    {
        ll r = egcd(b, a%b, y, x);
        y -= x*(a/b);
        return r;
    }
}
int main()
{
    ll x, y, m, n, l;
    while(~scanf("%I64d%I64d%I64d%I64d%I64d", &x, &y, &m, &n, &l))
    {
        ll t, p;
        ll ans = egcd(n-m, l, t, p);
       //printf("%d",ans);
        if((x-y) % ans)
            printf("Impossible
");
        else
        {
            //求最小整数解的算法
            t = (x-y)*t/ans;                        //首先令x为一个特解
            t = (t % (l/ans)+(l/ans)) % (l/ans);    //再根据公式计算
            printf("%I64d
", t);
        }
    }
}
//(m-n)t mod L=y-x

 

代码：