【LG3240】[HNOI2015]实验比较

题面

洛谷

题解

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题意描述里有一句："对每张图片(i)，小(D)都最多只记住了某一张质量不比(i)差的另一张图片(K_i)。"

即只有一个父亲，且(mleq n),所以建树，容易想到树形(dp)，

对于"(=)"的，直接用并查集将之看成一个点，

对于"(<)"的，将小的连一条到大的点的边，

然后不一定是一棵树，可能是森林，所以建一个超级根节点连起来。

设(f[u][i])表示以(u)为根，分成(i)段(即共有(y-1)个小于，每个小于两边所有图片质量相等)的方案数，

按照树形(dp)转移，则有

[f[u][i]=sum f'[u][j] imes f[v][k] imes num ]

(num)表示将(j)段和(k)段合并的方案数，如何求呢？

设(f[u])的质量序列为(A)，(f'[u])的质量序列为(B)，(f[v])的质量序列为(C)。

(A)中的每一段可以只包含(B)中的一段，可以只包含(C)中的一段，也可以有(B)和(C)中各一段合并而成，但不能为空。特殊地，(A)的第一段只能包含节点(u)。

因为(f[u])与(f'[u])都包含(u)那一段，所以相当于从(i-1)中选(j-1)个合并，方案数为(C_{i-1}^{j-1})，
然后把(C)中的(i-j)段放到(A)中剩下的位置，使每一段都不为空。现在(C)中还剩下(k-i+j)个段，他们需要与(B)中的段合并，方案数为(C_{j-1}^{k-i+j})。

[ herefore num=C_{i-1}^{j-1} imes C_{j-1}^{k-i+j} ]

然后

[Ans=sum f[n+1][i] ]

最后复杂度为(O(n^3))。

代码

#include <iostream> 
#include <cstdio> 
#include <cstdlib> 
#include <cstring> 
#include <cmath> 
#include <algorithm> 
using namespace std; 
const int Mod = 1e9 + 7; 
const int MAX_N = 105; 
struct Graph { int to, next; } e[MAX_N << 1]; int fir[MAX_N], e_cnt; 
void clearGraph() { memset(fir, -1, sizeof(fir)); e_cnt = 0; } 
void Add_Edge(int u, int v) { e[e_cnt] = (Graph){v, fir[u]}; fir[u] = e_cnt++; }
int pa[MAX_N]; 
int getf(int x) { return pa[x] == x ? x : pa[x] = getf(pa[x]); } 
int N, M, X[MAX_N], Y[MAX_N], cnt[MAX_N], C[MAX_N][MAX_N]; 
bool isroot[MAX_N];
int f[MAX_N][MAX_N], size[MAX_N];
void dfs(int x) { 
	size[x] = f[x][1] = 1; 
	for (int i = fir[x]; ~i; i = e[i].next) {
		int v = e[i].to; dfs(v);
		size[x] += size[v];
		for (int j = size[x]; j >= 1; j--) {
			int res = 0; 
			for (int k = 1; k <= min(size[x] - size[v], j); k++)
				for (int l = max(1, j - k); l <= size[v]; l++) 
					res = (res + 1ll * f[x][k] * f[v][l] % Mod 
						   * C[j - 1][k - 1] % Mod
						   * C[k - 1][l - j + k] % Mod) % Mod;
			f[x][j] = res;
		} 
	} 
} 
int main () { 
#ifndef ONLINE_JUDGE 
    freopen("cpp.in", "r", stdin); 
#endif
	clearGraph(); 
	scanf("%d%d", &N, &M);
	C[0][0] = 1;
    for (int i = 1; i <= N + 1; i++) C[i][0] = 1, C[i][i] = 1;
    for (int i = 2; i <= N + 1; i++) 
        for (int j = 1; j < i; j++)
            C[i][j] = (C[i - 1][j - 1] + C[i - 1][j]) % Mod; 
	for (int i = 1; i <= N; i++) pa[i] = i;
	
	for (int i = 1; i <= M; i++) { 
		char ch[5]; 
		scanf("%d%s%d", X + i, ch, Y + i); 
		if (ch[0] == '=') pa[getf(Y[i])] = getf(X[i]); 
	} 
	for (int i = 1; i <= M; i++) X[i] = getf(X[i]), Y[i] = getf(Y[i]); 
	for (int i = 1; i <= M; i++) { 
		if (X[i] == Y[i]) continue; 
		if (getf(X[i]) != getf(Y[i])) {
			Add_Edge(X[i], Y[i]), cnt[Y[i]]++, isroot[X[i]] = 1; 
			pa[getf(Y[i])] = getf(X[i]); 
		} else return puts("0") & 0; 
	} 
	for (int i = 1; i <= N; i++) if (isroot[i] && !cnt[i]) Add_Edge(N + 1, i); 
	dfs(N + 1);
	int ans = 0;
	for (int i = 1; i <= size[N + 1]; i++) ans = (ans + f[N + 1][i]) % Mod;
	printf("%d
", ans); 
    return 0; 
}