• 【LG3235】 [HNOI2014]江南乐


    题目描述

    给出(n)堆石子, 每次可以选择将大于某个数(f)一堆平均分成多个堆, 最后不能操作的失败。

    题解

    10pts

    直接爆搜即可。

    70pts

    像我们对这类题目的常规操作那样,将一整个局面分为几个子游戏,然后异或起来求答案。

    注意到我们现将一堆(m)分为(i)堆,那么会分成(lfloor frac mi floor * i)堆大小为(lfloor frac mi floor)的,(m - lfloor frac mi floor * i)堆大小为(lfloor frac mi floor+1)的,
    我们直接暴力求每个状态的(SG)就好了,复杂度(O(T)值域(^2))

    100pts

    观察到一种拆分的方案(j,j,j...j,j+1,j+1...j+1)
    在异或的过程中(SG(j)igoplus SG(j)=0)(SG(j+1)igoplus SG(j+1)=0)
    那么只要考虑有奇数还是偶数个(j),(j+1)即可。

    但是这样还是不够的, 我们自然而然的想到, 如果将石子堆划分为(i)堆 或者是(k)堆而且 (lfloorfrac{m}{i} floor=lfloorfrac{m}{k} floor)
    它们的后继状态都是(SG(lfloorfrac{m}{i} floor))
    或者是 (SG(lfloorfrac{m}{i} floor+1)),
    它们对答案的贡献可能是相同的, 根据上一段的论述, 这取决于 (lfloorfrac{m}{i} floor imes i)
    (lfloor frac{x}{i} floor imes i)的奇偶性。
    如果我们手推一下, 就会发现如果 $$lfloorfrac{m}{i} floor=lfloorfrac{m}{i+1} floor=lfloorfrac{m}{i+2} floor=cdots$$
    那么(i)(i+1)对答案的贡献是相同的, (i+1)(i+2)堆答案的贡献相同,,相同的状态我们只需要计算一次,对于(frac{m}{i})相同的所有(i),我们只需要计算最小的(i)(i+1)即可。

    然后我们对这个进行数论分块即可。

    代码

    #include <iostream>
    #include <cstdio>
    #include <cstdlib>
    #include <cstring> 
    #include <cmath> 
    #include <algorithm>
    using namespace std; 
    inline int gi() {
        register int data = 0, w = 1;
        register char ch = 0;
        while (!isdigit(ch) && ch != '-') ch = getchar(); 
        if (ch == '-') w = -1, ch = getchar();
        while (isdigit(ch)) data = 10 * data + ch - '0', ch = getchar();
        return w * data; 
    } 
    
    const int MAX_N = 1e5 + 5;
    int SG[MAX_N], vis[MAX_N], T, F; 
    int dfs(int x) { 
        if (x < F) return 0; 
        if (~SG[x]) return SG[x]; 
        for (int l = 2, r; l <= x; l = r + 1) { 
            r = (x / (x / l)); 
            for (int j = l; j <= min(l + 1, r); j++) { 
                int a = x % j, b = x / j, c = j - x % j, s = 0; 
                if (a & 1) s ^= dfs(b + 1); 
                if (c & 1) s ^= dfs(b); 
                vis[s] = x; 
            } 
        } 
        for (int i = 0;; i++) if (vis[i] != x) return SG[x] = i;
    }
    
    int main() {
    #ifndef ONLINE_JUDGE
    	freopen("cpp.in", "r", stdin); 
    #endif
        memset(SG, -1, sizeof(SG));
        T = gi(), F = gi();
        while (T--) {
            int n = gi(), ans = 0;
            for (int i = 1; i <= n; i++) ans ^= dfs(gi());
            printf("%d ", (bool)ans);
        }
        return 0;
    }
    
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