本文首发于“合天智汇”公众号 作者：CNinja
本文涉及知识点实操练习：CTF从入门到实践-CTF一站式学习平台-合天网安实验室
前言：
在CTF的密码题目中，RSA以其加密算法之多且应用之广泛，所以在比赛中是最常见的题目。学习密码学并不难，但首先得打好数学基础，并在攻破密码的学习之路上持之以恒。今天我们就来打开RSA加密世界的第一扇门<数论>。
数论基础：
1.素数
2.公约数与公倍数
3.欧拉函数
4.欧几里得算法
5.扩展欧几里得算法
6.同余
7.模运算
8.逆
9.中国剩余定理
10.逆元与同余式定理
1.素数：
定义：
一个大于1的自然数，除了1和它本身外，不能被其他自然数整除（除0以外）的数称之为素数（质数）；否则称为合数。
如：
3×4 = 12,不是素数。
11除了等于11×1以外，不能表示为其它任何两个整数的乘积，所以11是一个素数。
关于素数有以下事实：
（1）如果p是素数，且p | ab（表示ab能被p整除），则p | a或 p | b ,即p 至少整除a与b中的一个。
（2）（算术基本定理）每个整数n ≥ 2 ,均可分解成素数幂之积：
n =
若不计因数的顺序，这个分解式是唯一的。其中k ≥ 1，(1 i ≤ k)是两两互不相同的素数，(1 i ≤ k)是正整数。
（3）素数有无穷多个。
2.最大公约数与最小公倍数
定义1：
设，是两个整数。如果 d | 且 d | ，那么d就称为是和的公约数（或公因数）我们把和的公约数中最大的称为和的最大公约数，记作gcd(,).
当gcd(,) = 1时，我们称和是互素的。
定义2：
设，是两个整数。如果 | 且 | ，那么 就称为是和的公倍数。我们把和的正的公倍数中的最小的称为和的最小公倍数，记作。
3.欧拉函数
定义：
对正整数n，欧拉函数是小于或等于n 的数中与n 互质的数的个数，
记作：φ(n)。
例如：φ(8) = 4 ,因为1，3，5，7均与8互质。
性质：
(1) 若 n 为一素数 P，则：φ(P) = P-1
(2) 如果P是素数，k≥则：φ() = (P-1)×
例如 ：求φ(16)，由于 16 = 2×2×2×2，故φ(16) = (2-1) × = 8
(3) 若 n 为任意两个互质的 数a,b的积，则：φ(a*b) = φ(a) × φ(b)
例：求φ(40)，由于40 = 5×8，所以φ(40) = φ(5) × φ(8) = 4×4 = 1
(4)对于整数n≥2，根据算术基本定理，n可以分解成唯一的形如 n=的分解式，则：φ(n)=n(1-)(1-)…(1-)
4.欧几里得(Euclid)算法
欧几里得算法又称为辗转相除法，用于求两个数的最大公约数。
原理：GCD(x,y) = GCD(y，x mod y) ，x>y
1.python代码实现
2.python第三方库：
gmpy2.gcd(a,b) #求a,b的最大公约数
Crypto.Util.number
5.扩展欧几里得算法
定义：
在已知x，y时，求解一组解a,b，使得ax+by = GCD(x，y)
算法输入：两个正整数x和y
算法输出：x和y的最大公因数gcd(x,y)及满足等式ax+by=gcd(x,y)的整数a和b
python代码实现:
gmpy2库函数gcdext()
6.同余
定义：
设a,b是整数，n≠0，如果n|(a-b)，则称a和b模n同余，记为a≡b(mod n)，整数n称为模数。
由于n|(a-b) 等价于 -n|(a-b)，所以a≡b(mod n) 与 a≡b(mod (-n))等价。因此，一般我们总假定模数n≥1。
同余的性质
性质1：
- 自反性：a ≡ a (mod m)
- 对称性：a ≡ b (mod m)，↔ b ≡ c (mod m) ↔ a ≡ c (mod m)
性质2：
(1)若a ≡ b (mod m)，c ≡ d (mod m)
则：a±c ≡ b±d (mod m)，ac ≡ bd (mod m)
特别的，对于一个整数e,都有a±e ≡ b±e (mod m)，ae ≡ be (mod m)
(2)若a ≡ b (mod m)，k>0，则ak ≡ bk (mod mk)
(3) 若a ≡ b (mod m)，d是a，b的公因数，则 ≡
(4) 若a ≡ b (mod m)，d|m，d>0，则: a ≡ b (mod d)
(5) 若a ≡ b (mod m)，则:
(6) (a×b)mod m = (a mod m × b mod m )mod m
(7) mod m = mod m
7.模运算
定义：
a模n的运算给出了a对模n的余数，这种运算称为模运算。注意：模运算的结果是从0到n-1的一个整数。
模运算就像普通的运算一样，它是可交换、可结合、可分配的。而且，对每一个中间结果进行模m运算后再进行模m运算，其作用与先进行全部运算，然后再进行模m运算所得到的结果是一样的。例如：
(a+b)mod m=((a mod m)+(b mod m)) mod m
(a-b)mod m=((a mod m)-(b mod m)) mod m
(a×b)mod m=((a mod m) ×(b mod m)) mod m
(a×(b+c))mod m=((a×b) mod m+(a×c) mod m) mod m
这些性质对于密码学中的数学计算非常的重要，模运算可以将所有中间结果和最后结果限制在一个范围内。对于一个k位的模数n，任何、加、减、乘的中间结果将不会超过2k位长，这样避免了巨大的中间结果，使得计算机能够有效的处理数据。
如：计算(mod n)，不要直接进行7次乘法和一个大数的模运算：
(a×a×a×a×a×a×a×a)mod n
相反，应该进行三次比较小的乘法和三次比较小的模化简：
这样就可以避免巨大的中间结果出现。
8.逆
定义：
若m≥1，gcd(a,m)=1,则存在c使得：
ca≡1(mod m)
我们把c称为a对模n的逆，记作，在模数已经指明的情况下，有时也记作。
在(a,m)=1时，我们可以使用扩展欧几里得算法来求a的逆元：，这是因为：扩展欧几里得算法可以找到整数x,y使得ax+my=1，这样
9.中国剩余定理
中国剩余定理（Chinese remainder theorem，CRT），又称孙子定理，最早可见于中国南北朝时期（公元5世纪）的数学著作《孙子算经》中，为一次同余方程组的起源。
定理(CRT):
设,……,是两两互素的正整数，M=…,
=(i=1,2,…,k),则同余方程组：
有唯一解: x=(mod M)
其中≡1(mod )，i=1,2, …,k
代码实现：
10.逆元与同余式定理
1模运算重要公式：
(a+b) % m = (a % m + b % m) % m
(a-b) % m = (a % m - b % m) % m
(a*b) % m = (a % m * b % m) % m
% m = % m
2威尔逊定理： (wilson’s theorem)
若p为素数，则：(p-1)!≡-1(mod p) ⟹推导：(p-2)!≡1(mod p);
其逆定理同样成立。即：若(p-1)!≡-1(mod p) ,则p为素数
3二次探测定理：
定义：
若p是素数且 0<x<p,则 ≡1(mod p)仅有的两个解为：x=1或x=p-1
证明：由于≡1(mod p)，所以：-1≡0(mod p)，即(x+1)(x-1)≡0(mod p)
4费马小定理(Fermat)：
若a为正整数，P是一质数，则：GCD(a,p)=1
那么，推论:
，推论:=a mod p
5欧拉定理(Euler)：
若a与m互质，则：
后记：
数论基础的知识点比较杂乱繁多，这篇文章写的时候尽可能的去精简了，其中的定理及公式是必须要牢记于心的，后面的RSA加密算法的讲述中我会介绍定理及公式在RSA中的应用。
学习完数论基础后，后面我们将开始学习RSA的常见攻击算法及加密原理，以及各种工具的使用和python第三方库的函数调用。