问题描述：
设n 是一个正整数。2xn的标准2维表是由正整数1，2，…，2n 组成的2xn 数组，该数组的每行从左到右递增，每列从上到下递增。2xn的标准2维表全体记为Tab(n)。
例如，当n=3时Tab(3)如下：
思路分析：首先明确一下每行的数总是左边小于后面，上面小于下面，以上面的第一种情况进行分析，我们把第一行的数字对应为1表示进栈
。第二行的数字对应为-1表示出栈。我们知道一般情况进栈和出栈时栈里面的元素个数大于等于0，那么数字1看成进栈-1看成出栈，则总数之和要大于等于0。
即进出栈操作任何时刻进栈次数大于等于出栈的次数。那么上表的第一行第一个元素表示第一次是进栈操作，下面的4对应的是第一次进栈的元素在第四次出栈，第一行第二列2
表示第二次操作是进栈对应对应下面的5表示第五次操作是出栈，即把第二次进栈操作的元素出栈，依次类推，第三次是进栈操作，第六次把第三次进栈的元素弹出栈。
所以我们可以把表看出是元素的进出栈的操作，则tab(n)表示求元素个数为n的所有可能进出栈的操作。于是问题转换为n个元素所有可能进出栈的情况。
而求进出栈的所有可能情况的方法就是卡特兰数。下面简单介绍一下卡特兰数。
事实上，可以认为问题是，任意两种操作，要求每种操作的总次数一样，且进行第k次操作2前必须先进行至少k次操作1。我们假设一个人在原点，操作1是此人沿右上角45°走一个单位（一个单位设为根号2，这样他第一次进行操作1就刚好走到（1,1）点），操作2是此人沿右下角45°走一个单位。第k次操作2前必须先进行至少k次操作1，就是说明所走出来的折线不能跨越x轴走到y=-1这条线上！在进行n次操作1和n此操作2后，此人必将到到达（2n，0）！若无跨越x轴的限制，折线的种数将为C（2n，n），即在2n次操作中选出n次作为操作1的方法数。
现在只要减去跨越了x轴的情况数。对于任意跨越x轴的情况，必有将与y=-1相交。找出第一个与y=-1相交的点k，将k点以右的折线根据y=-1对称（即操作1与操作2互换了）。可以发现终点最终都会从（2n，0）对称到（2n，-2）。由于对称总是能进行的，且是可逆的。我们可以得出所有跨越了x轴的折线总数是与从（0,0）到（2n,-2）的折线总数。而后者的操作2比操作1要多0-（-2）=2次。即操作1为n-1,操作2为n+1。总数为C（2n，n-1）。
catalan数和出栈序列的对应：
动态规划：我们把n个元素的出栈个数的记为f(n), 那么对于1,2,3, 我们很容易得出：
f(1) = 1 //即 1
f(2) = 2 //即 12、21
f(3) = 5 //即 123、132、213、321、231
然后我们来考虑f(4), 我们给4个元素编号为a,b,c,d, 那么考虑：元素a只可能出现在1号位置，2号位置，3号位置和4号位置(很容易理解，一共就4个位置，比如abcd,元素a就在1号位置)。
分析：
1) 如果元素a在1号位置，那么只可能a进栈，马上出栈，此时还剩元素b、c、d等待操作，就是子问题f(3)；
2) 如果元素a在2号位置，那么一定有一个元素比a先出栈，即有f(1)种可能顺序（只能是b），还剩c、d，即f(2)， 根据乘法原理，一共的顺序个数为f(1) * f(2)；
3) 如果元素a在3号位置，那么一定有两个元素比1先出栈，即有f(2)种可能顺序（只能是b、c），还剩d，即f(1)，
根据乘法原理，一共的顺序个数为f(2) * f(1)；
4) 如果元素a在4号位置，那么一定是a先进栈，最后出栈，那么元素b、c、d的出栈顺序即是此小问题的解，即 f(3)；
结合所有情况，即f(4) = f(3) + f(2) * f(1) + f(1) * f(2) + f(3);
为了规整化，我们定义f(0) = 1；于是f(4)可以重新写为：
f(4) = f(0)*f(3) + f(1)*f(2) + f(2) * f(1) + f(3)*f(0)
然后我们推广到n，推广思路和n=4时完全一样，于是我们可以得到：
f(n) = f(0)*f(n-1) + f(1)*f(n-2) + ... + f(n-1)*f(0)
下面是推导式，不给证明了
另类递推式:
h(n)=h(n-1)*(4*n-2)/(n+1);
递推关系的解为:
h(n)=C(2n,n)/(n+1) (n=0,1,2,...)
递推关系的另类解为:
h(n)=c(2n,n)-c(2n,n-1)(n=0,1,2,...)
那么我们了解了卡特兰数之后就可以写代码了，demo如下
1 #include<bits/stdc++.h> 2 3 using namespace std; 4 int tan(int n){ 5 if(n==1|| n==0) 6 return 1; 7 else if(n==2) 8 return 2; 9 else { 10 return tan(n-1)*(4*n-2)/(n+1); 11 } 12 13 } 14 int main() 15 { 16 int n; 17 cin >> n; 18 cout << tan(n); 19 return 0; 20 }
但是这个代码只是简单运用了卡特兰数解决了n较小的问题，但是如下
其前几项为 : 1, 2, 5, 14, 42, 132, 429, 1430, 4862, 16796, 58786, 208012, 742900, 2674440, 9694845, 35357670, 129644790, 477638700, 1767263190, 6564120420, 24466267020, 91482563640, 343059613650, 1289904147324, 4861946401452, ...
所以n较大的时候Int就无法表示，下面是处理大整数后的思路（关于大整数的内容可以我的参考这篇博客（https://www.cnblogs.com/henuliulei/p/9867127.html））
下面是具体的大卡特兰数
1 #include<bits/stdc++.h> 2 using namespace std; 3 char array1[200]; 4 char array2[200]; 5 int sum[400]; 6 string f(string s1,string s2)//大整数乘法 7 { 8 reverse(s1.begin(),s1.end()); 9 reverse(s2.begin(),s2.end()); 10 memset(array1,0,sizeof(s1)); 11 memset(array2,0,sizeof(s2)); 12 memset(sum,0,sizeof(sum)); 13 int l1=s1.length(); 14 int l2=s2.length(); 15 strcpy(array1,s1.c_str()); 16 strcpy(array2,s2.c_str()); 17 for(int i=0;i<l1;i++){ 18 for(int j=0;j<l2;j++){ 19 sum[i+j]+=((int)array1[i]-48)*((int)array2[j]-48); 20 } 21 } 22 int f=0; 23 while(true){ 24 25 if(f<l1+l2){ 26 int de=sum[f]/10; 27 sum[f]=sum[f]%10; 28 sum[f+1]+=de; 29 f++; 30 } 31 else{ 32 break; 33 } 34 } 35 string a=""; 36 int ig=0; 37 for(int i=l1+l2-1;i>=0;i--){ 38 if((char)sum[i]+48!='0'){ 39 ig=1; 40 } 41 if(ig==1){ 42 a+=(char)sum[i]+48; 43 } 44 } 45 return a; 46 } 47 string div(string a,int b){//大整数除法 48 49 char s[1000]; 50 memset(s,0,sizeof(s)); 51 unsigned long long sum=0; 52 for(int i=0;a[i];i++) 53 { 54 sum=sum*10+a[i]-'0'; 55 s[i]=sum/b+'0'; 56 sum=sum%b; 57 } 58 int j=0; 59 string as=""; 60 while(s[j]=='0') 61 j++; 62 63 for(;j<a.size();j++) 64 as+=s[j];//商 65 return as; 66 67 } 68 int t(string n)//把字符串变为int类型 69 { 70 int a=0; 71 int s=1; 72 for(int i=n.length()-1;i>=0;i--){ 73 a+=((int)n[i]-48)*(s); 74 s*=10; 75 } 76 return a; 77 } 78 string tan(string n){//递归实现卡特兰数 79 if(n=="1"|| n=="0") 80 return "1"; 81 else if(n=="2") 82 return "2"; 83 else { 84 int s=t(n); 85 s=(s+1); 86 int st=t(n)*4-2; 87 int s1=t(n); 88 s1--; 89 char a[100]; 90 char a1[100]; 91 itoa(st,a,10); 92 itoa(s1,a1,10); 93 string s2=tan(a1); 94 string re=div(f(s2,a),s); 95 return re; 96 } 97 } 98 int main() 99 { 100 string s1; 101 string s2; 102 string s3; 103 cin >> s1; 104 cout << tan(s1); 105 }