数论好（难）题
题目要求求出$1/x+1/y=1/n!$ 中$x$和$y$的正整数解的个数
那么我们可以化简一下
很简单就可以化出$(x+y)n!=xy$
但是并没有化掉任何一个未知数，所以这玩意没用
在这个基础上再化简一下
因为$x,y$均为正整数且均$>n!$
所以可以设$y=n!+k$
那么原式可化为$(x+n!+k)n!=x(n!+k)$
再整理一下（这里给出运算步骤）
$xn!+(n!)^2+kn!=xn!+kx$
$x=((n!)^2+kn!)/k$
$x=(n!)^2/k+n!$
于是我们向正解迈出了一大步
由题可知，$x,y,n!$均为整数，所以$k$也是整数（如果$k$不是整数，$x$也不会是整数）
然后由这个式子$x=(n!)^2/k+n!$我们可以知道，$k$一定是$(n!)^2$的一个因数，否则会不符合x是整数这个定义
且易得$x$和$k$是一一对应的
那么至此，这个问题就变成了，求$(n!)^2$的因数的个数
用一下欧拉筛法筛出质数，算出质数的每个幂对于我们所求的答案的贡献就可以了
这几天又重新写了一下这题，还是不会...
不知道是换元的话根本不会写
不过还是放一下我的推导过程吧：
#include <iostream> #include <algorithm> #include <cstring> #include <cstdio> #include <vector> using namespace std; #define N 1000010 #define ll long long #define inf 2147483647 const int mod = 1e9 + 7; ll cnt[N], ans = 1; int vis[N], p[N], tot, n; int main() { #ifndef ONLINE_JUDGE freopen("1.in","r",stdin); #endif scanf("%d", &n); for(int i = 2; i <= n; ++i) { if(!vis[i]) p[++tot] = i; for(int j = 1; j <= tot && p[j] * i <= n; ++j) { vis[i * p[j]] = 1; if(i % p[j] == 0) break; } } for(int i = 1; i <= tot; i ++) { ll tmp = p[i]; for(; tmp <= n; tmp *= 1ll * p[i]) cnt[i] += 1ll * (n / tmp); cnt[i] %= mod; } for(int i = 1; i <= tot; i ++) { ans = 1ll * ans * (2 * cnt[i] + 1) % mod; } printf("%lld ", ans); return 0; }