• [bzoj2190][SDOI2008]仪仗队


    Description

      作为体育委员,C君负责这次运动会仪仗队的训练。仪仗队是由学生组成的N * N的方阵,为了保证队伍在行进中整齐划一,C君会跟在仪仗队的左后方,根据其视线所及的学生人数来判断队伍是否整齐(如下图)。    

      现在,C君希望你告诉他队伍整齐时能看到的学生人数。

    Input

      共一个数N。

    Output

      共一个数,即C君应看到的学生人数。

    Sample Input

      4

    Sample Output

      9

    HINT

    【数据规模和约定】   对于 100% 的数据,1 ≤ N ≤ 40000

    题解

    先讲一下18分做法qwq

    当然bzoj是没有部分分的,这是我A了这道题之后专门跑去洛谷测了一下这个想法能捞多少分

    首先观察到,对于每个斜率,一定只有一个人能被看到

    那么直接开一个bool数组,将除了对角线,第一行,第一列的都处理成1(对角线,第一行,第一列的第一个也处理成1)

    然后从左下角开始枚举

    枚举到每个1就根据斜率往上跳,把当前位处理成0

    最后扫一遍这个数组统计1的个数

    然后就会RE一堆

    因为数据范围是n<=40000的,数组都开不了,我当时直接开5000*5000看能捞多少分的

    所以其实这个跟没讲差不多

    #include <cstdio>
    #include <cstring>
    using namespace std;
    bool a[5000][5000];
    int abs(int x){return x<0?-x:x;}
    int main(){
        memset(a,1,sizeof(a));
        int n;
        scanf("%d",&n);
        for(int i=1;i<=n-2;i++)a[1][i]=0;
        for(int i=3;i<=n;i++)a[n][i]=0;
        int x=n-1,y=2;
        while(--x&&++y<=n)a[x][y]=0;
        for(int i=n-1;i;i--){
            for(int j=1;j<=n;j++){
                if(i==n-1||j==1||j==2)continue;
                if(!a[i][j])continue;
                int aa=abs(n-i),b=abs(1-j);
                x=i-aa,y=j+b;
                while(x&&y<=n){a[x][y]=0;x=x-aa;y=y+b;}
            }
        }
        int ans=0;
        for(int i=1;i<=n;i++){
            for(int j=1;j<=n;j++){
                if(a[i][j])ans++;
            }
        }
        printf("%d
    ",ans-1);
        return 0;
    }
    18分代码

    是时候讲正解了

    其实就是裸的欧拉函数题

    观察到只有对于坐标$(x,y)$,只有当 $ gcd(x,y)=1 $ 时才能被看到,不然它一定会被 $ (1/gcd(x,y),1/(gcd(x,y)) $ 挡住

    而欧拉函数$Eular(n)$表示在1~n中与n互质的数的个数

    所以只需要用欧拉筛求出1~n的Euler值,对他们求个sum就行

    有几个要注意的小坑点是,我们求出来的和只是这个正方形的一半,所以要*2,然后对角线上也有一点,而我们是不会把i==j的情况筛出来的

    所以答案是ans*2+1

    #include <cstdio>
    #include <cstring>
    using namespace std;
    #define N 40040
    int phi[N];
    int main(){
        int n;
        scanf("%d",&n);
        if(n==1)return puts("0"),0;
        phi[1]=1;
        for(int i=2;i<=n;i++){
            if(!phi[i]){
                for(int j=i;j<=n;j+=i){
                    if(!phi[j])phi[j]=j;
                    phi[j]=phi[j]/i*(i-1);
                }
            }
        }
        int ans=0;
        for(int i=1;i<=n-1;i++){
            ans+=phi[i];
        }
        printf("%d
    ",ans*2+1);
        return 0;
    }
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