BZOJ3670: [Noi2014]动物园

Description

近日，园长发现动物园中好吃懒做的动物越来越多了。例如企鹅，只会卖萌向游客要吃的。为了整治动物园的不良风气，让动物们凭自己的真才实学向游客要吃的，园长决定开设算法班，让动物们学习算法。

某天，园长给动物们讲解KMP算法。

园长：“对于一个字符串S，它的长度为L。我们可以在O(L)的时间内，求出一个名为next的数组。有谁预习了next数组的含义吗？”

熊猫：“对于字符串S的前i个字符构成的子串，既是它的后缀又是它的前缀的字符串中（它本身除外），最长的长度记作next[i]。”

园长：“非常好！那你能举个例子吗？”

熊猫：“例S为abcababc，则next[5]=2。因为S的前5个字符为abcab，ab既是它的后缀又是它的前缀，并且找不到一个更长的字符串满足这个性质。同理，还可得出next[1] = next[2] = next[3] = 0，next[4] = next[6] = 1，next[7] = 2，next[8] = 3。”

园长表扬了认真预习的熊猫同学。随后，他详细讲解了如何在O(L)的时间内求出next数组。

下课前，园长提出了一个问题：“KMP算法只能求出next数组。我现在希望求出一个更强大num数组一一对于字符串S的前i个字符构成的子串，既是它的后缀同时又是它的前缀，并且该后缀与该前缀不重叠，将这种字符串的数量记作num[i]。例如S为aaaaa，则num[4] = 2。这是因为S的前4个字符为aaaa，其中a和aa都满足性质‘既是后缀又是前缀’，同时保证这个后缀与这个前缀不重叠。而aaa虽然满足性质‘既是后缀又是前缀’，但遗憾的是这个后缀与这个前缀重叠了，所以不能计算在内。同理，num[1] = 0,num[2] = num[3] = 1,num[5] = 2。”

最后，园长给出了奖励条件，第一个做对的同学奖励巧克力一盒。听了这句话，睡了一节课的企鹅立刻就醒过来了！但企鹅并不会做这道题，于是向参观动物园的你寻求帮助。你能否帮助企鹅写一个程序求出num数组呢？

特别地，为了避免大量的输出，你不需要输出num[i]分别是多少，你只需要输出对1,000,000,007取模的结果即可。

Input

第1行仅包含一个正整数n ，表示测试数据的组数。随后n行，每行描述一组测试数据。每组测试数据仅含有一个字符串S，S的定义详见题目描述。数据保证S 中仅含小写字母。输入文件中不会包含多余的空行，行末不会存在多余的空格。

Output

包含 n 行，每行描述一组测试数据的答案，答案的顺序应与输入数据的顺序保持一致。对于每组测试数据，仅需要输出一个整数，表示这组测试数据的答案对 1,000,000,007 取模的结果。输出文件中不应包含多余的空行。

Sample Input

3
aaaaa
ab
abcababc

Sample Output

36
1
32

HINT

n≤5,L≤1,000,000

Solution

这题对kmp的next的数组解释的很好哇qwq

其实题目求的是对于每个前缀，它共有多少个不重合的next可以满足它，而不是最长的不重合的next。

所以我们有一个很直观的想法，跑一遍kmp，处理出next数组。

然后暴力向前跳next直至不会重合，即(next[j]<i/2)，然后往前面继续找一共有多少个不为0的next（事实上能跳到的next都有公共的前后缀）

这样有50分，是最暴力的做法，效率最坏被卡到(O(Tn^2))。

然后考虑优化一下，next数组的本质是一棵树，所以我们其实可以利用一下倍增。

倍增跳next数组的复杂度是(O(Tnlogn))

可以通过把log的那一位放到前面（这是一种卡常技巧），然后再开个O2就能过了。

正解是(O(n))的。

我们暴力跳看起来很傻，因为可以通过递推一次求出每个next能够往前跳到的next的个数，这样我们之前第二次往前跳就能(O(1))处理了。

然后第一次的往前跳，我们可以这么优化，那个j我们并不去重置它，在上次找完的基础上继续类比kmp用模式串匹配文本串的那种方式去找，这样是均摊(O(1))的

然后如果不满足情况的（即(next[i]>i/2)），我们直接暴力跳即可，但是实际上这样要跳的次数是很少的（应该基本只有一两次，实测很快）。

所以总的复杂度是(O(n))的

暴力

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

#define N 1000100
#define ll long long
#define mod 1000000007
int T, nxt[N], sum[N];
char s[N];
ll ans = 0;

int main() {
    scanf("%d", &T);
    while(T--) {
        ans = 1;
        scanf("%s", s + 1);
        int n = strlen(s + 1);
        memset(nxt, 0, sizeof(nxt));
        for(int i = 2, j = 0; i <= n; ++i) {
            while(j && s[j + 1] != s[i]) j = nxt[j];
            if(s[j + 1] == s[i]) ++j;
            nxt[i] = j;
        }
        for(int i = 1; i <= n; ++i) {
            int t = i;
            while(nxt[t] && nxt[t] > i / 2) t = nxt[t];
            while(nxt[t]) t = nxt[t], ++sum[i];
            ++sum[i];
            ans = ans * sum[i] % mod;
            sum[i] = 0;
        }
        printf("%lld
", ans % mod);
    }
}

倍增

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

#define N 1000100
#define ll long long
#define mod 1000000007
int T, nxt[N], f[20][N];
char s[N];
int ans = 0;

int main() {
    scanf("%d", &T);
    while(T--) {
        ans = 1;
        scanf("%s", s + 1);
        int n = strlen(s + 1);
        nxt[1] = 0;
        for(int i = 2, j = 0; i <= n; ++i) {
            while(j && s[j + 1] != s[i]) j = nxt[j];
            if(s[j + 1] == s[i]) ++j;
            nxt[i] = j;
            f[0][i] = nxt[i];
        }
        for(int k = 1; k < 20; ++k) {
            for(int i = 1; i <= n; ++i) {
                f[k][i] = f[k - 1][f[k - 1][i]];
            }
        }
        for(int i = 2; i <= n; ++i) {
            int t = i, sum = 0;
            for(int j = 19; j >= 0; --j) 
                if(f[j][t] > i / 2) t = f[j][t];
            for(int j = 19; j >= 0; --j)
            	if(f[j][t]) sum += (1 << j), t = f[j][t];
            ans = 1ll * ans * (sum + 1) % mod;
        }
        printf("%d
", ans);
    }
}

正解

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

#define N 1000100
#define ll long long
#define mod 1000000007
int T, nxt[N], num[N];
char s[N];
ll ans = 0;

int main() {
    scanf("%d", &T);
    while(T--) {
        ans = 1;
        scanf("%s", s + 1);
        int n = strlen(s + 1);
        num[1] = 1;
        for(int i = 2, j = 0; i <= n; ++i) {
            while(j && s[j + 1] != s[i]) j = nxt[j];
            if(s[j + 1] == s[i]) ++j;
            nxt[i] = j;
            num[i] = num[nxt[i]] + 1;
        }
        for(int i = 2, j = 0; i <= n; ++i) {
        	while(j && s[j + 1] != s[i]) j = nxt[j];
        	if(s[j + 1] == s[i]) ++j;
        	while(j * 2 > i) j = nxt[j];
        	ans = 1ll * ans * (num[j] + 1) % mod;
        }
        printf("%lld
", ans);
    }
}