稀疏矩阵在Python中的表示方法

对于一个矩阵而言，若数值为零的元素远远多于非零元素的个数，且非零元素分布没有规律时，这样的矩阵被称作稀疏矩阵；与之相反，若非零元素数目占据绝大多数时，这样的矩阵被称作稠密矩阵。

稀疏矩阵在工程应用中经常被使用，尤其是在通信编码和机器学习中。若编码矩阵或特征表达矩阵是稀疏矩阵时，其计算速度会大大提升。对于机器学习而言，稀疏矩阵应用非常广，比如在数据特征表示、自然语言处理等领域。用稀疏表示和工作在计算上代价很高，需要专门处理稀疏矩阵的表示和操作等，但是这些操作可以大幅提升性能。

Python中的稀疏矩阵

SciPy使用多个数据结构为创建稀疏矩阵提供了工具，以及将稠密矩阵转化为稀疏矩阵的工具。许多在Numpy数组上运行的线性代数Numpy和SciPy函数可以在SciPy稀疏数组上操作。此外，使用Numpy数据结构的机器学习库也可以在Scipy稀疏数组上操作，例如，用于机器学习的scikit-learning和用于深度学习的Keras。

Scipy中有可以表示的7种稀疏矩阵类型：

1. csc_matrix: Compressed Sparse Column format
2. csr_matrix: Compressed Sparse Row format
3. bsr_matrix: Block Sparse Row format
4. lil_matrix: List of Lists format
5. dok_matrix: Dictionary of Keys format
6. coo_matrix: COOrdinate format (aka IJV, triplet format)
7. dia_matrix: DIAgonal format

下面介绍常用的几种稀疏矩阵类型：

coo_matrix

coo_matrix是最简单的存储方式。采用三个数组row、col和data保存非零元素的行下标，列下标与值。这三个数组的长度相同。一般来说，coo_matrix主要用来创建矩阵，因为coo_matrix无法对矩阵的元素进行增删改等操作，一旦创建之后，除了将之转换成其它格式的矩阵，几乎无法对其做任何操作和矩阵运算。

>>> row = [0, 1, 2, 2]
>>> col = [0, 1, 2, 3]
>>> data = [1, 2, 3, 4]
# 生成coo格式的矩阵
>>> coo_mat = sparse.coo_matrix((data, (row, col)), shape=(4, 4))
>>> coo_mat
<4x4 sparse matrix of type '<class 'numpy.int32'>'
    with 4 stored elements in COOrdinate format>
>>> coo_mat.toarray()
array([[1, 0, 0, 0],
       [0, 2, 0, 0],
       [0, 0, 3, 4],
       [0, 0, 0, 0]])

优点：

• 转换成其它存储格式很快捷简便，转换成csr/csc很快
• 允许重复的索引（例如在1行1列处存了值2.0，又在1行1列处存了值3.0，则转换成其它矩阵时就是2.0+3.0=5.0）

缺点：

• 不支持切片和算术运算操作

dok_matrix与lil_matrix

dok_matrix和lil_matrix适用的场景是逐渐添加矩阵的元素。dok_matrix的策略是采用字典来记录矩阵中不为0的元素。所以字典的key存的是记录元素的位置信息的元祖，value是记录元素的具体值。

>>> S = sparse.dok_matrix((5, 5), dtype=np.float32)
>>> for i in range(5):
      for j in range(5):
        S[i,j] = i+j    # 更新元素

>>> S.toarray()
[[0. 1. 2. 3. 4.]
 [1. 2. 3. 4. 5.]
 [2. 3. 4. 5. 6.]
 [3. 4. 5. 6. 7.]
 [4. 5. 6. 7. 8.]]

优点：

• 对于递增的构建稀疏矩阵很高效，比如定义该矩阵后，想进行每行每列更新值，可用该矩阵。当访问某个单元，只需要O(1)

缺点：

• 不允许重复索引（coo中适用），但可以很高效的转换成coo后进行重复索引

lil_matrix则是使用两个列表存储非0元素。data保存每行中的非零元素,rows保存非零元素所在的列。这种格式也很适合逐个添加元素，并且能快速获取行相关的数据。

>>> l = sparse.lil_matrix((4, 4))
>>> l[1, 1] = 1
>>> l[1, 3] =2
>>> l[2, 3] = 3
>>> l.toarray()
array([[0., 0., 0., 0.],
       [0., 1., 0., 2.],
       [0., 0., 0., 3.],
       [0., 0., 0., 0.]])

优点：

• 适合递增的构建成矩阵
• 转换成其它存储方式很高效
• 支持灵活的切片

缺点：

• 当矩阵很大时，考虑用coo
• 算术操作，列切片，矩阵向量内积操作慢

csr_matrix与csc_matrix

csr_matrix是按行对矩阵进行压缩的,csc_matrix是按列对矩阵进行压缩的。通过row_offsets,column_indices，data来确定矩阵。column_indices，data与coo格式的列索引与数值的含义完全相同，row_offsets表示元素的行偏移量。
用如下例子说明：

>>> indptr = np.array([0, 2, 3, 6]) # 元素的行偏移量
>>> indices = np.array([0, 2, 2, 0, 1, 2])  # 列索引
>>> data = np.array([1, 2, 3, 4, 5, 6])
>>> csr_matrix((data, indices, indptr), shape=(3, 3)).toarray()
array([[1, 0, 2],
       [0, 0, 3],
       [4, 5, 6]])

以官方文档为例，此时data代表的是存储的值的数组，indices代表的是每一行中第几列有对应data中的元素，即从indices中可以推断出列的信息，indptr则用来推断出行的信息，默认元素开始为0，第一个元素为2，则证明第一行中有2-0=2个元素，所以将data数组中前另个元素写入第一行中，而indices前两个元素为0,2，则代表第0列和第2列。前两第二个元素为3，证明第二行中有3-2=1个元素，该元素为data[2]=3,且存储在indices[2] = 2列中。依次类推。

CSR格式常用于读入数据后进行稀疏矩阵计算。

CSR：
优点：

• 高效的稀疏矩阵算术操作
• 高效的行切片
• 快速地矩阵向量内积操作

缺点：

• 缓慢地列切片操作（可以考虑csc）
• 转换到稀疏结构代价较高（可以考虑lil，dok）

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CSC：
优点：

• 高效的稀疏矩阵算术操作
• 高效的列切片
• 快速地矩阵向量内积操作（不如csr，bsr块）

缺点：

• 缓慢地行切片操作（可以考虑csr）
• 转换到稀疏结构代价较高（可以考虑lil，dok）

稀疏矩阵的存取

用save_npz保存单个稀疏矩阵

>>> scipy.sparse.save_npz('sparse_matrix.npz', sparse_matrix)
>>> sparse_matrix = scipy.sparse.load_npz('sparse_matrix.npz')

参考：
python稀疏矩阵的存储与表示
机器学习稀疏矩阵简介