【洛谷P1463】反素数【DFS】【DP】

题目大意：

题目链接：https://www.luogu.org/problemnew/show/P1463
输出$1$到$n$中约数个数最多且尽量小的数。

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思路：

如果你很厉害的话可以打出来一个表。

#include<cstdio>
#include <iostream>
using namespace std;

long long a[]={1,2,4,6,12,24,36,48,60,120,180,240,360,720,840,1260,1680,2520,5040,7560,10080,15120,20160,25200,27720,45360,50400,55440,83160,110880,166320,221760,277200,332640,498960,554400,665280,720720,1081080,1441440,2162160,2882880,3603600,4324320,6486480,7207200,8648640,10810800,14414400,17297280,21621600,32432400,36756720,43243200,61261200,73513440,110270160,122522400,147026880,183783600,245044800,294053760,367567200,551350800,698377680,735134400,1102701600,1396755360,2001000000};
int n,ans,i;

int main()
{
    scanf("%d",&n);
    while (a[i]<n) i++;
    printf("%lld\n",a[i-1]);
    return 0;
}

正解是$DP$，如果你钻研数据范围的话$DFS$也可以过。
什么是钻研数据范围呢？
首先，约数个数尽量多，那么我们就把这个数拆成$prime[1]^{c[1]}\times prime[2]^{c[2]}\times prime[3]^{c[3]}......\times prime[k]^{c[k]}$。那么由于$n\leq 2\times 10^9$所以即使所有的$c[k]=1$，那么最大的$prime[i]$也只要到$29$，因为$2\times3\times5\times7\times11\times13\times17\times19\times23\times29\geq2\times 10^9$，所以只要$29$就足够了，换句话说，$k\leq10$就行了。
那么来证一下$c[i]$。由于$prime[1]^{32}$（即$2^{31}$）$\geq2\times 10^9$，所以$c[i]$肯定不会超过$30$。
那么易证$c[1]\geq c[2]\geq c[3]......\geq c[k]$才有最优解（具体证法可以参考《算法竞赛进阶指南》），那么$DFS$的范围就缩小了很多，直接爆搜即可。

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代码：

#include <cstdio>
#include <iostream>
#define ll long long
using namespace std;

const ll num[]={0,2,3,5,7,11,13,17,19,23,29};
ll ans,a[14][41],maxn;
int n;

void dfs(int x,ll sum,int k,ll s)
{
	if (sum>n) return;
	if (s>ans||(s==ans&&maxn>sum))
	{
		ans=s;
		maxn=sum;
	}
	if (x>10) return;
	for (int i=0;i<=k;i++)
	 if (a[x][i]<=n)
	  dfs(x+1,sum*a[x][i],i,s*(i+1));
	 else break;
}

int main()
{
	scanf("%d",&n);
	for (int i=1;i<=10;i++)
	{
		a[i][0]=1;
		ll k=1;
		for (int j=1;j<=30&&k<=n;j++)
		{
			a[i][j]=k*num[i];
			k*=num[i];
		}
	} 
	dfs(1,1,30,1);
	cout<<maxn;
	return 0;
}