• 【洛谷P1025】【JZOJ5195】数的划分【DP】


    题目大意:

    题目链接:
    洛谷:https://www.luogu.org/problemnew/show/P1025
    JZOJ:https://jzoj.net/senior/#main/show/5195
    nn个弹珠分成kk份,且每份不能为空,任意两个方案不相同(不考虑顺序)。


    思路:

    我们先来讨论一下放的方法。
    为了使任意两份互不相同,那么就让第一份的珠子数量geq第二份珠子的数量...geq...geqkk分珠子的数量。这样可以保证不会出现相同的方案(例如2,3,42,3,42,4,32,4,3就是相同的方案,其中至少一个会不符合要求)。
    很容易想到用f[i][j]f[i][j]表示已经将ii个珠子分成jj分的方案数。为了保证s1s2...sks_1geq s_2geq...geq s_k,那么就有两种方程:

    1. 下一个格子(第ii个格子)放入一个珠子。由于前面的每一份都至少有一个珠子,并且保证s1s2...si1s_1geq s_2geq...geq s_{i-1},所以在下一份放入一个珠子也是可以保证s1s2...sis_1geq s_2geq...geq s_{i}的。所以就有f[i][j]=f[i1][j1]f[i][j]=f[i-1][j-1]
    2. 前面的每一个格子都多放一个珠子。由于本来就有s1s2...sis_1geq s_2geq...geq s_{i},那么也就必然有s1+1s2+1...si1+1sis_1+1geq s_2+1geq...geq s_{i-1}+1geq s_i。那么方程就是f[i][j]=f[ij][j]f[i][j]=f[i-j][j]

    所以综合起来就是
    f[i][j]=f[i1][j1]+f[ij][j]f[i][j]=f[i-1][j-1]+f[i-j][j]


    代码:

    洛谷:

    #include <cstdio>
    #include <iostream>
    using namespace std;
    int f[201][201],n,m;
    
    int main()
    {
        scanf("%d%d",&n,&m);
        for (int i=1;i<=n;i++)
         f[i][1]=1;
        for (int i=2;i<=n;i++)
         for (int j=2;j<=i;j++)
          f[i][j]=f[i-1][j-1]+f[i-j][j];
        printf("%d
    ",f[n][m]);
        return 0;
    }
    

    JZOJ:

    #include <cstdio>
    #define N 5100
    #define MOD 998244353
    using namespace std;
    int f[N][N],n,m;
    
    int main()
    {
        scanf("%d%d",&n,&m);
        for (int i=1;i<=n;i++)
         f[i][1]=1;
        for (int i=2;i<=n;i++)
         for (int j=2;j<=i;j++)
          f[i][j]=(f[i-1][j-1]+f[i-j][j])%MOD;
        printf("%d
    ",f[n][m]);
        return 0;
    }
    
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  • 原文地址:https://www.cnblogs.com/hello-tomorrow/p/11998487.html
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