【RQNOJ85】三个袋子【矩阵乘法】

题目大意：

题目链接：http://www.rqnoj.cn/problem/85
求$n$个球装进$3$个袋子里的总方案数。

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思路：

出题人十分良心的给出了表：

$n$	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
方案数	1	2	5	14	41	122	365	1094	3281	9842

然后就变成了一道找规律的题目。

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40分做法：

容易发现$f[i]=3 imes f[i-1]-1$。暴力递推即可。

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20到100分做法：

可以发现公式$f[i]=frac{3^{i-1}-1}{2}$。直接用快速幂，多少分要看你打的好不好。。。

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100分做法：

矩阵乘法加速递推。
可以发现矩阵：

然后递推即可。

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代码：

#include <cstdio>
#include <cstring>
using namespace std;

int n,MOD,f[3];
int a[3][3]=
{
	{0,0,0},
	{0,3,0},
	{0,1,1}
};

void mul(int f[3],int a[3][3])
{
	int c[3];
	memset(c,0,sizeof(c));
	for (int i=1;i<=2;i++)
	 for (int j=1;j<=2;j++)
	  c[i]=((c[i]+f[j]*a[j][i])%MOD+MOD)%MOD;
	memcpy(f,c,sizeof(c));
}

void mulself(int a[3][3])
{
	int c[3][3];
	memset(c,0,sizeof(c));
	for (int i=1;i<=2;i++)
	 for (int j=1;j<=2;j++)
	  for (int k=1;k<=2;k++)
	   c[i][j]=((c[i][j]+a[i][k]*a[k][j])%MOD+MOD)%MOD;
	memcpy(a,c,sizeof(c));
}

int main()
{
	scanf("%d%d",&n,&MOD);
	f[1]=1;
	f[2]=-1;
	n--;
	while (n)
	{
		if (n&1) mul(f,a);
		n>>=1;
		mulself(a);
	}
	printf("%d",f[1]%MOD);
	return 0;
}