【洛谷P4003】无限之环【费用流】

题目大意：

题目链接：https://www.luogu.org/problem/P4003
曾经有一款流行的游戏，叫做 Infinity Loop，先来简单的介绍一下这个游戏：
游戏在一个 $n imes m$ 的网格状棋盘上进行，其中有些小方格中会有水管，水管可能在
格某些方向的边界的中点有接口，所有水管的粗细都相同，所以如果两个相邻方格的
共边界的中点都有接头，那么可以看作这两个接头互相连接。水管有以下15种形状：
在这里插入图片描述
游戏开始时，棋盘中水管可能存在漏水的地方。

形式化地：如果存在某个接头，没有和其它接头相连接，那么它就是一个漏水的

地方。

玩家可以进行一种操作：选定一个含有非.直.线.型.水管的方格，将其中的水管绕方格

中心顺时针或逆时针旋转 90 度。

直线型水管是指左图里中间一行的两种水管。

现给出一个初始局面，请问最少进行多少次操作可以使棋盘上不存在漏水的地方。

思路：

这道题可以把水流看成流量，旋转次数看成费用，这样就基本是一个费用流的板子。
但是这道题建模还是比较难。主要有以下两个问题：

如何保证每一条水管都有流量？
如何处理旋转产生的费用？

我们先把每一个点拆成五个点，分别是往上下左右流的边和与原点汇点流的边。姑且把后者称作总点。
那么为了保证每条边都满流，我们必须把点黑白染色，白点的总点连原点，然后原点连向上下左右；黑点的总点连汇点，然后从上下左右连总点。之后所有白点的上下左右点分别连黑点的上下左右点。
这样我们就把整个图建好了。其中我们把每一条边拆成了两个点之间分别的两条边，所以最终的流量会是我们建的两点之间的边的个数的一半。
在这里插入图片描述
那么费用应该如何处理呢？
我们来分类讨论一下。

注意：黑点与白点的连线正好完全相反。例如白点的连线为 $(x,y)$ ，那么黑点的连线为 $(y,x)$ 。

在这里插入图片描述
这种情况非常简单。我们以水管朝上为例。那么如果我们要让水管朝左或者朝右，那么只要花费1的费用即可。所以从上向左右分别连费用为1的边，同理，从上向下连费用为2的边。

在这里插入图片描述
由于题目要求直管不能旋转，所以就不用再内部连任何的边。

在这里插入图片描述
如果把这个水管顺时针旋转 $90°$ ，那么就相当于把左边的水管放在了右边，同理，逆时针就相当于把上面的水管放在了下面。
那么就从上到下，从左到右分别连一条费用为1的边。
此时如果旋转 $180°$ 的费用正好为2，和题目要求一致。

在这里插入图片描述
这种水管也很好理解，旋转 $90°$ 就相当于把左边或右边的水管转移到下面。那么就从左右向下连一条费用为1的边。同理，从上到下连一条费用为2的边。

在这里插入图片描述
这个转了和没转没有区别，所以就不用再内部连边了。

注意除了上述连边外，还有上下左右边和总点的连边、只要把这个水管原本的边和总点连接即可。
主要还是靠理解，这个连边在图上不是很好画，代码就更加看不懂。。。
这是我至今为止连边最长的费用流。
并且这道题用普通的 $ek$ 会T，用 $zkw$ 费用流就可以了。
$spfa$ 最好加上 $slf$ 和 $LLL$ 优化。

代码：

#include <queue>
#include <cstdio>
#include <string>
#include <cstring>
#include <algorithm>
using namespace std;

const int N=1000010,Inf=1e9;
int n,m,S,T,maxflow,cnt,cost,tot=1,head[N],dis[N];
bool vis[N];

struct edge
{
	int next,to,from,flow,cost;
}e[N];

int U(int x){return x+n*m;}
int D(int x){return x+n*m*2;}
int L(int x){return x+n*m*3;}
int R(int x){return x+n*m*4;}

int read()
{
	int d=0;
	char ch=getchar();
	while (!isdigit(ch)) ch=getchar();
	while (isdigit(ch))	
		d=(d<<3)+(d<<1)+ch-48,ch=getchar();
	return d;
}

int pos(int x)
{
	int a=(x&1)>0,b=(x&2)>0,c=(x&4)>0,d=(x&8)>0;
	if (a+b+c+d==1) return 1;
	if (a+b+c+d==2)
	{
		if ((a&c) || (b&d)) return 2;
			else return 3;
	}
	if (a+b+c+d==3) return 4;
	if (a+b+c+d==4) return 5;
}

void add(int from,int to,int flow,int cost)
{
	e[++tot].to=to;
	e[tot].from=from;
	e[tot].flow=flow;
	e[tot].cost=cost;
	e[tot].next=head[from];
	head[from]=tot;
	
	swap(from,to);
	e[++tot].to=to;
	e[tot].from=from;
	e[tot].flow=0;
	e[tot].cost=-cost;
	e[tot].next=head[from];
	head[from]=tot;
}

bool spfa()
{
	memset(dis,0x3f3f3f3f,sizeof(dis));
	memset(vis,0,sizeof(vis));
	deque<int> q;
	q.push_back(T);
	dis[T]=0; vis[T]=1;
	int sum=0;
	while (q.size())
	{
		int u=q.front();
		while (dis[u]*q.size()>sum)
		{
			q.push_back(u);
			q.pop_front();
			u=q.front();
		}
		q.pop_front();
		vis[u]=0; 
		sum-=dis[u];
		for (int i=head[u];~i;i=e[i].next)
		{
			int v=e[i].to;
			if (e[i^1].flow && dis[v]>dis[u]+e[i^1].cost)
			{
				dis[v]=dis[u]+e[i^1].cost;
				if (!vis[v])
				{
					vis[v]=1;
					if (q.size() && dis[v]>dis[q.front()]) q.push_back(v);
						else q.push_front(v);
					sum+=dis[v];
				}
			}
		}
	}
	return dis[S]<Inf;
}

int dfs(int x,int flow)
{
    int low=0;
    if (x==T)
    {
    	vis[T]=1;
        return flow;
    }
    int used=0;
    vis[x]=1;
    for (int i=head[x];~i;i=e[i].next)
    {
        int y=e[i].to;
        if (!vis[y] && dis[y]==dis[x]-e[i].cost && e[i].flow)
        {
            low=dfs(y,min(e[i].flow,flow-used));
            if (low)
            {
            	cost+=e[i].cost*low;
                used+=low;
                e[i].flow-=low;
                e[i^1].flow+=low;
                if (used==flow) break;
            }
        }
    }
    return used;
}

void zkw()
{
	while (spfa())
	{
		vis[T]=1;
		while (vis[T])
		{
			memset(vis,0,sizeof(vis));
			maxflow+=dfs(S,Inf);
		}
	}
}

int main()
{
	memset(head,-1,sizeof(head));
	S=N-1; T=N-2;
	n=read(); m=read();
	for (int i=1;i<=n;i++)
		for (int j=1;j<=m;j++)
		{
			int x=i*m-m+j,y,opt;
			y=read();
			opt=pos(y);
			if ((i+j)&1)
			{
				if (opt==1)
				{
					if (y&1) add(U(x),x,1,0),add(L(x),U(x),1,1),add(R(x),U(x),1,1),add(D(x),U(x),1,2);
					if (y&2) add(R(x),x,1,0),add(U(x),R(x),1,1),add(D(x),R(x),1,1),add(L(x),R(x),1,2);
					if (y&4) add(D(x),x,1,0),add(L(x),D(x),1,1),add(R(x),D(x),1,1),add(U(x),D(x),1,2);
					if (y&8) add(L(x),x,1,0),add(U(x),L(x),1,1),add(D(x),L(x),1,1),add(R(x),L(x),1,2);
					cnt++;
				}
				if (opt==2)
				{
					if (y&1) add(U(x),x,1,0),add(D(x),x,1,0);
					if (y&2) add(L(x),x,1,0),add(R(x),x,1,0);
					cnt+=2;
				}
				if (opt==3)
				{
					if ((y&1) && (y&2)) add(U(x),x,1,0),add(R(x),x,1,0),add(D(x),U(x),1,1),add(L(x),R(x),1,1);
					if ((y&2) && (y&4)) add(D(x),x,1,0),add(R(x),x,1,0),add(U(x),D(x),1,1),add(L(x),R(x),1,1);
					if ((y&4) && (y&8)) add(D(x),x,1,0),add(L(x),x,1,0),add(U(x),D(x),1,1),add(R(x),L(x),1,1);
					if ((y&8) && (y&1)) add(U(x),x,1,0),add(L(x),x,1,0),add(D(x),U(x),1,1),add(R(x),L(x),1,1);
					cnt+=2;
				}
				if (opt==4)
				{
					if (!(y&1))
						add(D(x),x,1,0),add(L(x),x,1,0),add(R(x),x,1,0),add(U(x),D(x),1,2),add(U(x),R(x),1,1),add(U(x),L(x),1,1);
					if (!(y&2))
						add(D(x),x,1,0),add(L(x),x,1,0),add(U(x),x,1,0),add(R(x),L(x),1,2),add(R(x),U(x),1,1),add(R(x),D(x),1,1);
					if (!(y&4))
						add(U(x),x,1,0),add(L(x),x,1,0),add(R(x),x,1,0),add(D(x),U(x),1,2),add(D(x),R(x),1,1),add(D(x),L(x),1,1);
					if (!(y&8))
						add(U(x),x,1,0),add(D(x),x,1,0),add(R(x),x,1,0),add(L(x),R(x),1,2),add(L(x),U(x),1,1),add(L(x),D(x),1,1);
					cnt+=3;
				}
				if (opt==5) add(U(x),x,1,0),add(D(x),x,1,0),add(L(x),x,1,0),add(R(x),x,1,0),cnt+=4;
			}
			else
			{
				if (opt==1)
				{
					if (y&1) add(x,U(x),1,0),add(U(x),L(x),1,1),add(U(x),R(x),1,1),add(U(x),D(x),1,2);
					if (y&2) add(x,R(x),1,0),add(R(x),U(x),1,1),add(R(x),D(x),1,1),add(R(x),L(x),1,2);
					if (y&4) add(x,D(x),1,0),add(D(x),L(x),1,1),add(D(x),R(x),1,1),add(D(x),U(x),1,2);
					if (y&8) add(x,L(x),1,0),add(L(x),U(x),1,1),add(L(x),D(x),1,1),add(L(x),R(x),1,2);
					cnt++;
				}
				if (opt==2)
				{
					if (y&1) add(x,U(x),1,0),add(x,D(x),1,0);
					if (y&2) add(x,L(x),1,0),add(x,R(x),1,0);
					cnt+=2;
				}
				if (opt==3)
				{
					if ((y&1) && (y&2)) add(x,U(x),1,0),add(x,R(x),1,0),add(U(x),D(x),1,1),add(R(x),L(x),1,1);
					if ((y&2) && (y&4)) add(x,D(x),1,0),add(x,R(x),1,0),add(D(x),U(x),1,1),add(R(x),L(x),1,1);
					if ((y&4) && (y&8)) add(x,D(x),1,0),add(x,L(x),1,0),add(D(x),U(x),1,1),add(L(x),R(x),1,1);
					if ((y&8) && (y&1)) add(x,U(x),1,0),add(x,L(x),1,0),add(U(x),D(x),1,1),add(L(x),R(x),1,1);
					cnt+=2;
				}
				if (opt==4)
				{
					if (!(y&1))
						add(x,D(x),1,0),add(x,L(x),1,0),add(x,R(x),1,0),add(D(x),U(x),1,2),add(R(x),U(x),1,1),add(L(x),U(x),1,1);
					if (!(y&2))
						add(x,D(x),1,0),add(x,L(x),1,0),add(x,U(x),1,0),add(L(x),R(x),1,2),add(U(x),R(x),1,1),add(D(x),R(x),1,1);
					if (!(y&4))
						add(x,U(x),1,0),add(x,L(x),1,0),add(x,R(x),1,0),add(U(x),D(x),1,2),add(R(x),D(x),1,1),add(L(x),D(x),1,1);
					if (!(y&8))
						add(x,U(x),1,0),add(x,D(x),1,0),add(x,R(x),1,0),add(R(x),L(x),1,2),add(U(x),L(x),1,1),add(D(x),L(x),1,1);
					cnt+=3;
				}
				if (opt==5) add(x,U(x),1,0),add(x,D(x),1,0),add(x,L(x),1,0),add(x,R(x),1,0),cnt+=4;
			}
			
			if (!((i+j)&1))
			{
				add(S,x,Inf,0);
				if (i>1) add(U(x),D(x-m),1,0);
				if (i<n) add(D(x),U(x+m),1,0);
				if (j>1) add(L(x),R(x-1),1,0);
				if (j<m) add(R(x),L(x+1),1,0);
			}
			else add(x,T,Inf,0);
		}
	zkw();
	if (maxflow*2==cnt) printf("%d
",cost);
		else printf("-1");
	return 0;
}

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