【洛谷P2371】墨墨的等式【最短路】

题目大意：

题目链接：https://www.luogu.org/problem/P2371
墨墨突然对等式很感兴趣，他正在研究 $a_1x_1+a_2x_2+...+a_nx_n=B$ 存在非负整数解的条件，他要求你编写一个程序，给定$n$、${an}$、以及$B$的取值范围，求出有多少$B$可以使等式存在非负整数解。

---

思路：

以下内容大部分摘自这篇题解。
$Bleq 10^6$的部分分就是一个裸的背包。但是这道题的范围是$Bleq 10^{12}$。
若满足$a_1x_1+a_2x_2+...+a_nx_n=p$，那么一定满足$a_1x_1+a_2x_2+...+a_nx_n=p+k imes minn$。显然在$p$越小时，$k$能取到的值越大。
设$minn=min{a_i}$，$dis[i]$表示$Bmod minn=i$时$p$的最小值。
对于每一个数字$a_i$，建边$j o (j+a_i)mod minn$，其中$jin[0,minn)$。
然后从0开始跑最短路，这样就可以求出$dis[]$了。
那么$Bin [0,k]$时原式有非负整数解的数量即为$sum^{minn-1}_{i=0}(frac{k-dis[i]}{minn}+1)$

---

代码：

#include <queue>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#define mp make_pair
using namespace std;
typedef long long ll;

const int N=15,M=500010;
int n,tot,minn,a[N],head[M];
ll Bmin,Bmax,dis[M];
bool vis[M];

struct edge
{
	int next,to,dis;
}e[N*M];

void add(int from,int to,int dis)
{
	e[++tot].to=to;
	e[tot].dis=dis;
	e[tot].next=head[from];
	head[from]=tot;
}

void dij()
{
	priority_queue<pair<ll,int> > q;
	q.push(mp(0,0));
	memset(dis,0x3f3f3f3f,sizeof(dis));
	dis[0]=0;
	while (q.size())
	{
		int u=q.top().second;
		q.pop();
		if (vis[u]) continue;
		vis[u]=1;
		for(int i=head[u];~i;i=e[i].next)
		{
			int v=e[i].to;
			if (dis[v]>dis[u]+(ll)e[i].dis)
			{
				dis[v]=dis[u]+(ll)e[i].dis;
				q.push(mp(-dis[v],v));
			}
		}
	}
}

ll count(ll k)
{
	ll ans=0;
	for (ll i=0;i<minn;i++)
		if (dis[i]<=k) ans+=(k-dis[i])/(ll)minn+1;
	return ans;
}

int main()
{
	memset(head,-1,sizeof(head));
	scanf("%d%lld%lld",&n,&Bmin,&Bmax);
	minn=M;
	for (int i=1;i<=n;i++)
	{
		scanf("%d",&a[i]);
		minn=min(minn,a[i]);
	}
	for (int i=0;i<minn;i++)
		for (int j=1;j<=n;j++)
			add(i,(i+a[j])%minn,a[j]);
	dij();
	printf("%lld",count(Bmax)-count(Bmin-1));
	return 0;
}