线性代数学习笔记1-方程组的几何解释

 

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我们从求解线性方程组来开始这门课，从一个普通的例子讲起：方程组有个未知数，一共有个方程，分别来看方程组的“行图像”和“列图像”。

有方程组，写作矩阵形式有，通常我们把第一个矩阵称为系数矩阵，将第二个矩阵称为向量，将第三个矩阵称为向量，于是线性方程组可以表示为。

我们来看行图像，即直角坐标系中的图像：

import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
import pandas as pd
import seaborn as sns

x = [-2, 2, -2, 2]
y = [-4, 4, 0.5, 2.5]

fig = plt.figure()
plt.axhline(y=0, c='black')
plt.axvline(x=0, c='black')

plt.plot(x[:2], y[:2], x[2:], y[2:])

plt.draw()

plt.close(fig)

上图是我们都很熟悉的直角坐标系中两直线相交的情况，接下来我们按列观察方程组（我们把第一个向量称作，第二个向量称作，以表示第一列向量和第二列向量），要使得式子成立，需要第一个向量加上两倍的第二个向量，即。

现在来看列图像，在二维平面上画出上面的列向量：

from functools import partial

fig = plt.figure()
plt.axhline(y=0, c='black')
plt.axvline(x=0, c='black')
ax = plt.gca()
ax.set_xlim(-2.5, 2.5)
ax.set_ylim(-3, 4)

arrow_vector = partial(plt.arrow, width=0.01, head_width=0.1, head_length=0.2, length_includes_head=True)

arrow_vector(0, 0, 2, -1, color='g')
arrow_vector(0, 0, -1, 2, color='c')
arrow_vector(2, -1, -2, 4, color='b')
arrow_vector(0, 0, 0, 3, width=0.05, color='r')

plt.draw()

plt.close(fig)

如图，绿向量与蓝向量（两倍的蓝绿向量）合成红向量。

接着，我们继续观察，的某种线性组合得到了向量，那么的所有线性组合能够得到什么结果？它们将铺满整个平面。

下面进入三个未知数的方程组：，写作矩阵形式。

在三维直角坐标系中，每一个方程将确定一个平面，而例子中的三个平面会相交于一点，这个点就是方程组的解。

同样的，将方程组写成列向量的线性组合，观察列图像：。易知教授特意安排的例子中最后一个列向量恰巧等于等式右边的向量，所以我们需要的线性组合为。假设我们令，则需要的线性组合为。

我们并不能总是这么轻易的求出正确的线性组合，所以下一讲将介绍消元法——一种线性方程组的系统性解法。

现在，我们需要考虑，对于任意的，是否都能求解？用列向量线性组合的观点阐述就是，列向量的线性组合能否覆盖整个三维向量空间？对上面这个例子，答案是肯定的，这个例子中的是我们喜欢的矩阵类型，但是对另一些矩阵，答案是否定的。那么在什么情况下，三个向量的线性组合得不到？

——如果三个向量在同一个平面上，问题就出现了——那么他们的线性组合也一定都在这个平面上。举个例子，比如，那么不管怎么组合，这三个向量的结果都逃不出这个平面，因此当在平面内，方程组有解，而当不在平面内，这三个列向量就无法构造出。在后面的课程中，我们会了解到这种情形称为奇异、矩阵不可逆。

下面我们推广到九维空间，每个方程有九个未知数，共九个方程，此时已经无法从坐标图像中描述问题了，但是我们依然可以从求九维列向量线性组合的角度解决问题，仍然是上面的问题，是否总能得到？当然这仍取决于这九个向量，如果我们取一些并不相互独立的向量，则答案是否定的，比如取了九列但其实只相当于八列，有一列毫无贡献（这一列是前面列的某种线性组合），则会有一部分无法求得。

接下来介绍方程的矩阵形式，这是一种乘法运算，举个例子，取，来看如何计算矩阵乘以向量：

• 我们依然使用列向量线性组合的方式，一次计算一列，
• 另一种方法，使用向量内积，矩阵第一行向量点乘向量。

教授建议使用第一种方法，将看做列向量的线性组合。