• BZOJ2440 完全平方数


    Description

    小 X 自幼就很喜欢数。但奇怪的是,他十分讨厌完全平方数。他觉得这些数看起来很令人难受。由此,他也讨厌所有是完全平方数的正整数倍的数。然而这丝毫不影响他对其他数的热爱。
    这天是小X的生日,小 W 想送一个数给他作为生日礼物。当然他不能送一个小X讨厌的数。他列出了所有小X不讨厌的数,然后选取了第 K个数送给了小X。小X很开心地收下了。
    然而现在小 W 却记不起送给小X的是哪个数了。你能帮他一下吗?

    Input

    包含多组测试数据。文件第一行有一个整数 T,表示测试数据的组数。
    第2 至第T+1 行每行有一个整数Ki,描述一组数据,含义如题目中所描述。

    Output

    含T 行,分别对每组数据作出回答。第 i 行输出相应的第Ki 个不是完全平方数的正整数倍的数。

    Sample Input

    4
    1
    13
    100
    1234567

    Sample Output

    1
    19
    163
    2030745

    Hint

    对于 100%的数据有 1 ≤ Ki ≤ 10^9, T ≤ 50

    首先一个非完全平方数就是没有任何一个质因子的次数大于1。

    所以我们用容斥来计算这个问题。设数集({S})表示非完全平方数的集合,则(ans=sum_{iin{S}}(-1)^{t_{i}}lfloor frac{n}{i^{2}} floor)。其中(t_{i}表示i的质因数个数)

    非完全平方数对答案的贡献为0,所以我们比较容易想到莫比乌斯函数(mu)

    所以答案就是(sum_{i}mu(i)lfloor frac{n}{i^{2}} floor)

    注意:i只需要枚举到(sqrt k) 就可以了。

    #include<iostream>
    #include<cstdio>
    #include<cstring>
    #include<cmath>
    #include<complex>
    #include<algorithm>
    #include<set>
    #include<map>
    #include<vector>
    #include<ctime>
    #include<queue>
    #include<iomanip>
    #define ll long long
    
    using namespace std;
    inline int Get() {int x=0,f=1;char ch=getchar();while(ch<'0'||ch>'9') {if(ch=='-') f=-1;ch=getchar();}while('0'<=ch&&ch<='9') {x=(x<<1)+(x<<3)+ch-'0';ch=getchar();}return x*f;}
    
    int T,k;
    int pri[100005];
    bool vis[100005];
    int mu[100005];
    void pre(int n) {
    	mu[1]=1;
    	for(int i=2;i<=n;i++) {
    		if(!vis[i]) {
    			mu[i]=-1;
    			pri[++pri[0]]=i;
    		}
    		for(int j=1;j<=pri[0]&&1LL*i*pri[j]<=n;j++) {
    			vis[i*pri[j]]=1;
    			if(i%pri[j]==0) {
    				mu[i*pri[j]]=0;
    				break;
    			}
    			mu[i*pri[j]]=-mu[i];
    		}
    	}
    }
    
    ll l,r,mid;
    bool Check(ll n) {
    	ll maxx=sqrt(n)+1;
    	ll ans=0;
    	for(int i=2;i<=maxx;i++) {
    		ans-=n/(1ll*i*i)*mu[i];
    	}
    	return n-ans>=k;
    }
    
    int main() {
    	pre(100000);
    	T=Get();
    	while(T--) {
    		k=Get();
    		l=1,r=3e9;
    		while(l<r) {
    			mid=l+r>>1;
    			if(Check(mid)) r=mid;
    			else l=mid+1;
    		}
    		cout<<l<<"
    ";
    	}
    	return 0;
    }
    
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