Description
小 X 自幼就很喜欢数。但奇怪的是,他十分讨厌完全平方数。他觉得这些数看起来很令人难受。由此,他也讨厌所有是完全平方数的正整数倍的数。然而这丝毫不影响他对其他数的热爱。
这天是小X的生日,小 W 想送一个数给他作为生日礼物。当然他不能送一个小X讨厌的数。他列出了所有小X不讨厌的数,然后选取了第 K个数送给了小X。小X很开心地收下了。
然而现在小 W 却记不起送给小X的是哪个数了。你能帮他一下吗?
Input
包含多组测试数据。文件第一行有一个整数 T,表示测试数据的组数。
第2 至第T+1 行每行有一个整数Ki,描述一组数据,含义如题目中所描述。
Output
含T 行,分别对每组数据作出回答。第 i 行输出相应的第Ki 个不是完全平方数的正整数倍的数。
Sample Input
4
1
13
100
1234567
Sample Output
1
19
163
2030745
Hint
对于 100%的数据有 1 ≤ Ki ≤ 10^9, T ≤ 50
首先一个非完全平方数就是没有任何一个质因子的次数大于1。
所以我们用容斥来计算这个问题。设数集({S})表示非完全平方数的集合,则(ans=sum_{iin{S}}(-1)^{t_{i}}lfloor frac{n}{i^{2}} floor)。其中(t_{i}表示i的质因数个数)。
非完全平方数对答案的贡献为0,所以我们比较容易想到莫比乌斯函数(mu)。
所以答案就是(sum_{i}mu(i)lfloor frac{n}{i^{2}} floor)。
注意:i只需要枚举到(sqrt k) 就可以了。
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<complex>
#include<algorithm>
#include<set>
#include<map>
#include<vector>
#include<ctime>
#include<queue>
#include<iomanip>
#define ll long long
using namespace std;
inline int Get() {int x=0,f=1;char ch=getchar();while(ch<'0'||ch>'9') {if(ch=='-') f=-1;ch=getchar();}while('0'<=ch&&ch<='9') {x=(x<<1)+(x<<3)+ch-'0';ch=getchar();}return x*f;}
int T,k;
int pri[100005];
bool vis[100005];
int mu[100005];
void pre(int n) {
mu[1]=1;
for(int i=2;i<=n;i++) {
if(!vis[i]) {
mu[i]=-1;
pri[++pri[0]]=i;
}
for(int j=1;j<=pri[0]&&1LL*i*pri[j]<=n;j++) {
vis[i*pri[j]]=1;
if(i%pri[j]==0) {
mu[i*pri[j]]=0;
break;
}
mu[i*pri[j]]=-mu[i];
}
}
}
ll l,r,mid;
bool Check(ll n) {
ll maxx=sqrt(n)+1;
ll ans=0;
for(int i=2;i<=maxx;i++) {
ans-=n/(1ll*i*i)*mu[i];
}
return n-ans>=k;
}
int main() {
pre(100000);
T=Get();
while(T--) {
k=Get();
l=1,r=3e9;
while(l<r) {
mid=l+r>>1;
if(Check(mid)) r=mid;
else l=mid+1;
}
cout<<l<<"
";
}
return 0;
}