Loj #3102. 「JSOI2019」神经网络

Loj #3102. 「JSOI2019」神经网络

题目背景

火星探险队发现，火星人的思维方式与人类非常不同，是因为他们拥有与人类很不一样的神经网络结构。为了更好地理解火星人的行为模式，JYY 对小镇上火星人的大脑进行了扫描，得到了一些重要数据。

题目描述

火星人在出生后，神经网络可以看作是一个由若干无向树 ({T_1(V_1, E_1), T_2(V_2, E_2),ldots T_m(V_m, E_m)}) 构成的森林。随着火星人年龄的增长，神经连接的数量也不断增长。初始时，神经网络中生长的连接 (E^ast = emptyset)。神经网络根据如下规则生长：

- 如果节点 (u in V_i, v in V_j) 分别属于不同的无向树 (T_i) 和 (T_j (i eq j))，则 (E^ast) 中应当包含边 ((u, v))。

最终，在不再有神经网络连接可能生长后，神经网络之间的节点连接可以看成是一个无向图 (G(V,E))，其中

[V=V_1cup V_2cup ldots cup V_m,E=E_1cup E_2cup ldots cup E_mcup E^ast ]

火星人的决策是通过在 (G(V, E)) 中建立环路完成的。针对不同的外界输入，火星人会建立不同的神经连接环路，从而做出不同的响应。为了了解火星人行为模式的复杂性，JYY 决定计算 (G) 中哈密顿回路的数量。

(G(V, E)) 的哈密顿回路是一条简单回路，从第一棵树的第一个节点出发，恰好经过 (V) 中的其他节点一次且仅一次，并且回到第一棵树的第一个节点。

输入格式

第一行读入 (m)，表示火星人神经网络初始时无向树的数量。

接下来输入有 (m) 部分，第 (i) 部分描述了树 (T_i)。

对于 (T_i)，输入的第一行是树 (T_i(V_i, E_i)) 中节点的数量 (k_i)。假设 (V_i = {v1_, v_2,ldots ,v_{k_i}})。

接下来 (k_{i} - 1) 行，每行两个整数 (x, y)，表示该树节点 (v_x, v_y (1 le x, y le k_i)) 之间有一条树边，即 ((v_x, v_y) in E_i)。

输出格式

因为哈密顿回路的数量可能很多，你只需要输出一个非负整数，表示答案对 (998244353) 取模后的值。

数据范围与提示

(sum_{i=1}^m k_ile 5 imes 10^3,mleq 300)

(\)

一个合法情况可以这样来看：将第(i)棵树分为(k_i)条不相交链，且这些链的并是第(i)棵树，然后将这些链排列起来，相邻的链不能来自同一颗树。特别地，第(1)棵树的(1)号点所在的链要拆成两半分别放在排列的两端。

首先对于每颗树，(DP)出来选(i)条链的方案数，这个(DP)就设(f_{i,j,0/1/2})表示以(i)为根的子树中，(i)所在的链点数为(1)/点数(>1)且没有分叉/有分叉的方案数。每种方案还要(*2^k)，其中(k)是点数(>1)的链的数量（因为正反都可以）。

接着考虑用容斥来算答案。设(S_{i,j})表示将(i)个元素分为(j)个排列的方案数。这个可以考虑先(DP)出“将长度为(i)的序列分成(j)段”的方案数，再(*i!)。对于第(m)棵树,有(n)个点，假设我们选出了(i)条链的方案数为(G_i)。我们要强制有(j)对链是相邻的，那么答案是(S_{i,i-j}*G_i)，容斥系数是((-1)^{j})。于是我们可以预处理出(H)数组，(H_i)表示选出来的链有(i)段的系数：

[H_i=sum_{j=i}^n (-1)^{j-i} G_i*S_{i,j} ]

注意第(1)棵树第(1)个点要特殊处理。最后在将每颗树选出来的许多连续段随便排列，这个可以用背包实现。

代码：

#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
#define M 305
#define N 5005

using namespace std;
inline int Get() {int x=0,f=1;char ch=getchar();while(ch<'0'||ch>'9') {if(ch=='-') f=-1;ch=getchar();}while('0'<=ch&&ch<='9') {x=(x<<1)+(x<<3)+ch-'0';ch=getchar();}return x*f;}

const ll mod=998244353;
ll ksm(ll t,ll x) {
	ll ans=1;
	for(;x;x>>=1,t=t*t%mod)
		if(x&1) ans=ans*t%mod;
	return ans;
}
const ll inv2=mod+1>>1;
int m;
int n;
struct road {int to,nxt;}s[N<<1];
int h[N],cnt;
void add(int i,int j) {s[++cnt]=(road) {j,h[i]};h[i]=cnt;}

ll fac[N],ifac[N];
ll C(int n,int m) {return n<m?0:fac[n]*ifac[m]%mod*ifac[n-m]%mod;}
ll f[3][N][N];
ll tem[3][N];
int size[N];
ll F[305][N],G[N],H[N];
void Init() {
	for(int i=1;i<=n;i++) h[i]=0;
	cnt=0;
	for(int i=1;i<=n;i++)
		for(int j=1;j<=n;j++)
			f[0][i][j]=f[1][i][j]=f[2][i][j]=0;
	for(int i=1;i<=n;i++) size[i]=0;
}

void dfs(int v,int fr) {
	f[0][v][1]=1;
	size[v]=1;
	for(int i=h[v];i;i=s[i].nxt) {
		int to=s[i].to;
		if(to==fr) continue ;
		dfs(to,v);
		for(int j=1;j<=size[v]+size[to];j++) tem[0][j]=tem[1][j]=tem[2][j]=0;
		for(int j=1;j<=size[v];j++) {
			for(int k=1;k<=size[to];k++) {
				(tem[0][j+k]+=f[0][v][j]*(f[0][to][k]+f[1][to][k]+f[2][to][k]))%=mod;
				(tem[1][j+k-1]+=f[0][v][j]*f[0][to][k]*2)%=mod;
				(tem[1][j+k-1]+=f[0][v][j]*f[1][to][k])%=mod;
				
				(tem[1][j+k]+=f[1][v][j]*(f[0][to][k]+f[1][to][k]+f[2][to][k]))%=mod;
				(tem[2][j+k-1]+=f[1][v][j]*f[0][to][k])%=mod;
				(tem[2][j+k-1]+=f[1][v][j]*f[1][to][k]%mod*inv2)%=mod;
				
				(tem[2][j+k]+=f[2][v][j]*(f[0][to][k]+f[1][to][k]+f[2][to][k]))%=mod;
			}
		}
		for(int j=1;j<=size[v]+size[to];j++) {
			f[0][v][j]=tem[0][j];
			f[1][v][j]=tem[1][j];
			f[2][v][j]=tem[2][j];
		}
		size[v]+=size[to];
	}
}

int tot;
int S[N][N];
void pre(int n) {
	fac[0]=1;
	for(int i=1;i<=n;i++) fac[i]=fac[i-1]*i%mod;
	ifac[n]=ksm(fac[n],mod-2);
	for(int i=n-1;i>=0;i--) ifac[i]=ifac[i+1]*(i+1)%mod;
	S[0][0]=1;
	for(int j=1;j<=n;j++) {
		ll pre=0;
		for(int i=j;i<=n;i++) {
			(pre+=S[i-1][j-1])%=mod;
			S[i][j]=pre;
		}
	}
	for(int i=0;i<=n;i++) {
		for(int j=0;j<=i;j++) {
			S[i][j]=S[i][j]*fac[i]%mod;
			if(i-j&1) S[i][j]=(mod-S[i][j])%mod;
		}
	}
}

int main() {
	pre(5000);
	m=Get();
	for(int now=1;now<=m;now++) {
		n=Get();
		Init();
		for(int j=1;j<n;j++) {
			int a=Get(),b=Get();
			add(a,b),add(b,a);
		}
		dfs(1,0);
		if(now==1) {
			for(int i=1;i<=n;i++) {
				G[i]=(f[0][1][i]+f[1][1][i]+f[2][1][i])%mod;
			}
			tot+=n+1;
			F[1][2]=G[1];
			for(int i=1;i<n;i++) {
				for(int j=1;j<=i;j++) {
					(F[1][j+2]+=G[i+1]*S[i][j])%=mod;
					(F[1][j+1]+=(mod-1)*G[i+1]%mod*S[i][j]*2)%=mod;
					if(j>1) (F[1][j]+=G[i+1]*S[i][j])%=mod;
				}
			}
		} else {
			for(int i=1;i<=n;i++) {
				G[i]=(f[0][1][i]+f[1][1][i]+f[2][1][i])%mod;
			}
			for(int i=0;i<=n;i++) H[i]=0;
			for(int i=1;i<=n;i++) {
				for(int j=1;j<=i;j++) {
					(H[j]+=G[i]*S[i][j])%=mod;
				}
			}
			for(int j=2;j<=tot;j++) {
				for(int k=1;k<=n;k++) {
					(F[now][j+k]+=F[now-1][j]*H[k]%mod*C(j-2+k,k))%=mod;
				}
			}
			tot+=n;
		}
	}
	ll Ans=0;
	for(int i=2;i<=tot;i++) (Ans+=F[m][i])%=mod;
	cout<<Ans;
	return 0;
}