Luogu P4705 玩游戏

题目描述
Alice 和 Bob 又在玩游戏。

对于一次游戏，首先 Alice 获得一个长度为 ​ 的序列 ​，Bob 获得一个长度为 ​ 的序列 bb。之后他们各从自己的序列里随机取出一个数，分别设为 ​，定义这次游戏的 ​次价值为​。

由于他们发现这个游戏实在是太无聊了，所以想让你帮忙计算对于 ​一次游戏​ 次价值的期望是多少。

由于答案可能很大，只需要求出模 ​下的结果即可。

输入输出格式
输入格式：

第一行两个整数 ​，分别表示 Alice 和 Bob 序列的长度。

接下来一行 ​ 个数，第 ​ 个数为 ​，表示 Alice 的序列。

接下来一行 ​ 个数，第 ​ 个数为 ​，表示 Bob 的序列。

接下来一行一个整数 ​，意义如上所述。

输出格式：

共 ​ 行，第 ​ 行表示一次游戏 ​ 次价值的期望。

输入输出样例
输入样例#1：

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1 1
1
2
3
输出样例#1：

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3
9
27
输入样例#2：

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2 8
764074134 743107904
663532060 183287581 749169979 7678045 393887277 27071620 13482818 125504606
6
输出样例#2：

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774481679
588343913
758339354
233707576
36464684
461784746
神仙题啊！！

前置知识：

生成函数。

Taylor展开。

NTT。

多项式求​。

​次价值得期望就是​。

用二项式定理将分子展开:

考虑将​展开：

我们设：

答案就是​

问题的关键就在于预处理出​。

预处理出这个多项式的方法是一个经典套路（根本不会）。

设
这
个
可
以
用
分
治
求
出
。
通过​的系数可以预处理出A和B。

解释一下，最后一步变换：

根据Taylor展开：

​求导如下：

复合函数求导遵循链式法则：

于是：

我们再​处展开，也就是令​

得到：

于是我们求出​然后就可以用第​项得系数来算出​和​。

代码（算​的逆元的时候乘爆了，调了一晚上）：

include<bits/stdc++.h>

define ll long long

define N 300005

define mod 998244353

using namespace std;
inline int Get() {int x=0,f=1;char ch=getchar();while(ch<'0'||ch>'9') {if(ch'-') f=-1;ch=getchar();}while('0'<=ch&&ch<='9') {x=(x<<1)+(x<<3)+ch-'0';ch=getchar();}return xf;}
​
ll n,m;
int t;
ll a[N],b[N];
ll fac[N<<2],inv[N<<2];
​
ll ksm(ll t,ll x) {
ll ans=1;
for(;x;x>>=1,t=tt%mod)
if(x&1) ans=ans*t%mod;
return ans;
}
ll Mod(ll a) {
if(a<0) return a+mod;
if(a>=mod) return a-mod;
return a;
}
int rev[N<<2];
void NTT(ll *a,int d,int flag) {
static const ll G=3;
int n=1<<d;
for(int i=0;i<n;i++) rev[i]=(rev[i>>1]>>1)|((i&1)<<d-1);
for(int i=0;i<n;i++) if(i<rev[i]) swap(a[i],a[rev[i]]);
for(int s=1;s<=d;s++) {
int len=1<<s,mid=len>>1;
ll w=flag1?ksm(G,(mod-1)/len):ksm(G,mod-1-(mod-1)/len);
for(int i=0;i<n;i+=len) {
ll t=1;
for(int j=0;j<mid;j++,t=tw%mod) {
ll u=a[i+j],v=a[i+j+mid]t%mod;
a[i+j]=Mod(u+v);
a[i+j+mid]=Mod(u-v+mod);
}
}
}
if(flag-1) {
ll inv=ksm(n,mod-2);
for(int i=0;i<n;i++) a[i]=a[i]*inv%mod;
}
}
​
struct poly {
ll g[N<<2],f[N<<2];
ll a[N<<2],ans[N<<2];
void solve(int l,int r) {
if(lr) return ;
int len=r-l+1,mid=l+r>>1;
solve(l,mid),solve(mid+1,r);
int d=ceil(log2(len+1));
for(int i=0;i<(1<<d);i++) g[i]=f[i]=0;
g[0]=f[0]=1;
for(int i=l;i<=mid;i++) f[i-l+1]=a[i];
for(int i=mid+1;i<=r;i++) g[i-mid]=a[i];
NTT(f,d,1),NTT(g,d,1);
for(int i=0;i<(1<<d);i++) f[i]=f[i]g[i]%mod;
NTT(f,d,-1);
for(int i=l;i<=r;i++) a[i]=f[i-l+1];
}
ll inv[N<<2],A[N<<2];
void Inverse(ll a,int d,ll f) {
f[0]=ksm(a[0],mod-2);
for(int s=1;s<=d;s++) {
int len=1<<s,Len=len<<1;
for(int i=0;i<len;i++) A[i]=a[i],A[i+len]=0;
NTT(A,s+1,1),NTT(f,s+1,1);
for(int i=0;i<Len;i++) f[i]=(2f[i]-f[i]f[i]%modA[i]%mod+mod)%mod;
NTT(f,s+1,-1);
for(int i=len;i<Len;i++) f[i]=0;
}
}
void DER(ll a,int n) {
for(int i=0;i<n;i++) a[i]=a[i+1](i+1)%mod;
a[n]=a[n-1]=0;
}
void INT(ll a,int n) {
for(int i=n-1;i>=0;i--) a[i+1]=a[i]ksm(i+1,mod-2)%mod;
a[0]=0;
}
void Ln(ll *a,int d,ll f) {
Inverse(a,d,inv);
DER(a,1<<d);
NTT(inv,d+1,1),NTT(a,d+1,1);
for(int i=0;i<(1<<d+1);i++) f[i]=inv[i]a[i]%mod;
NTT(f,d+1,-1);
INT(f,1<<d);
}
void mian(int n,int lim,ll *orig,ll f) {
for(int i=1;i<=n;i++) a[i]=orig[i];
solve(1,n);
int d=ceil(log2(lim));
a[0]=1;
Ln(a,d,ans);
for(int i=1;i<=(1<<d);i++) {
f[i]=ans[i];
f[i]=f[i]::inv[i-1]%mod;
if(!(i&1)) f[i]=(mod-f[i])%mod;
}
}
}pre[2];
ll A[N<<2],B[N<<2];
int main() {
n=Get(),m=Get();
for(int i=1;i<=n;i++) a[i]=Get();
for(int i=1;i<=m;i++) b[i]=Get();
t=Get();

fac[0]=1;
for(int i=1;i<=t;i++) fac[i]=fac[i-1]*i%mod;

inv[t]=ksm(fac[t],mod-2);
for(int i=t-1;i>=0;i--) inv[i]=inv[i+1]*(i+1)%mod;

int lim=max(n,m)+t;
pre[0].mian(n,lim,a,A);
pre[1].mian(m,lim,b,B);

int d=ceil(log2(t*2));
A[0]=n,B[0]=m;
for(int i=t+1;i<(1<<d);i++) A[i]=B[i]=0;


NTT(A,d,1),NTT(B,d,1);

​
for(int i=0;i<(1<<d);i++) A[i]=A[i]*B[i]%mod;
NTT(A,d,-1);

ll invnm=ksm(1ll*n*m%mod,mod-2);

for(int i=1;i<=t;i++) {
    cout<<fac[i]*A[i]%mod*invnm%mod<<"
";
}

return 0;

}
​