斯特林数
定义：
自行百度
递推式：
[egin{Bmatrix}n\k end{Bmatrix}=egin{Bmatrix}n-1\k-1end{Bmatrix}+kcdot egin{Bmatrix}n-1\k end{Bmatrix}\
egin{bmatrix}n\k end{bmatrix}=egin{bmatrix}n-1\k-1 end{bmatrix}+(n-1)cdot egin{bmatrix}n-1\k end{bmatrix}
]
第二类斯特林数
一个组合数意义清晰的式子：
[displaystyle n^m=sum_{k=0}^megin {Bmatrix}m\k end{Bmatrix}C_n^kk!\
]
通过二项式反演的得到（这里是将m看作一个常数)：
[k!egin {Bmatrix}m\k end{Bmatrix}=sum_{i=0}^k(-1)^{k-i}C_k^ii^m\
]
上述式子用容斥原理也很好理解。
我们还可以将上述的式子化为卷积的形式：
[egin{align}
egin {Bmatrix}m\k end{Bmatrix}&=frac{1}{k!}sum_{i=0}^k(-1)^{k-i}frac{k!}{i!(k-i)!}i^m\
&=sum_{i=0}^kfrac{(-1)^{k-i}}{(k-i)!}frac{i^m}{i!}\
end{align}
]
第二类斯特林数的应用：
斯特林数与阶乘幂之间的关系：
第二类斯特林数与下降阶乘幂的关系：
[C_n^kk!=n^{underline k}\
所以：displaystyle n^m=sum_{k=0}^megin {Bmatrix}m\k end{Bmatrix}C_n^kk!=sum_{k=0}^megin {Bmatrix}m\k end{Bmatrix}n^{underline k}\
]
当然也有第一类斯特林数与上升阶乘幂的关系：
[displaystyle x^{overline{n}}=sum_k egin{bmatrix}n\k end{bmatrix}x^k
]
证明使用数学归纳法证明的：
首先我们有((x+n-1)cdot x^k=x^{k+1}+(n-1)x^k)。
所以：
[egin{align}
displaystyle x^{overline{n}}&=(x+n-1)x^{overline{n-1}}\
&=(x+n-1)sum_k egin{bmatrix}n-1\k end{bmatrix}x^k\
&=sum_k egin{bmatrix}n-1\k end{bmatrix}x^{k+1}+sum_k egin{bmatrix}n-1\k end{bmatrix}x^k (n-1)\
&=sum_k egin{bmatrix}n-1\k-1 end{bmatrix}x^{k}+sum_k egin{bmatrix}n-1\k end{bmatrix}x^k (n-1)\
&=sum_k x^k (egin{bmatrix} n-1\k-1end{bmatrix}+(n-1)egin{bmatrix}n-1\kend{bmatrix})\
&=sum_k x^kegin{bmatrix}n\kend{bmatrix}
end{align}
]
斯特林反演：
[displaystyle f(n)=sum_{k=0}^n egin{Bmatrix}n\k end{Bmatrix}g(k)
Longleftrightarrow g(n)=sum_{k=0}^n(-1)^{n-k}egin {bmatrix} n\k end{bmatrix}f(k)
]
首先我们要证明一个叫反转公式的东西：
[displaystyle sum_{k=m}^n (-1)^{n-k}egin{bmatrix}n\kend{bmatrix} egin{Bmatrix}k\mend{Bmatrix}=[m=n]\
sum_{k=m}^n (-1)^{n-k}egin{Bmatrix}n\kend{Bmatrix} egin{bmatrix}k\mend{bmatrix}=[m=n]
]
在这之前，我们先考虑如何建立上升阶乘幂与下降阶乘幂之间的关系。
先给出结论：
[x^{underline{n}}=(-1)^n(-x)^{overline{n}}\
x^{overline{n}}=(-1)^n(-x)^{underline{n}}
]
证明：
[egin{align}
(-1)^n(-x)^{overline{n}}&=(-1)^n(-x)(-x+1)...(-x+n-1)\
&=(-1)^n(-x)(-(x-1))...(-(x-n+1))\
&=x(x-1)...(x-n+1)=x^{underline{n}}
end{align}
]
对于(x^{overline{n}}=(-1)^n(-x)^{underline{n}})证明方法相同。
[egin{align}
displaystyle n^m&=sum_{k=0}^{m}egin{Bmatrix}m\kend{Bmatrix}n^{underline{k}}\
&=sum_{k=0}^{m}egin{Bmatrix}m\kend{Bmatrix}(-1)^k(-n)^{overline{k}}
end{align}
]
将下式带入：
[displaystyle x^{overline{n}}=sum_k egin{bmatrix}n\k end{bmatrix}x^k
]
得：
[egin{align}
displaystyle n^m&=sum_{k=0}^{m}egin{Bmatrix}m\kend{Bmatrix}(-1)^k(-n)^{overline{k}}\
&=sum_{k=0}^{m}egin{Bmatrix}m\kend{Bmatrix}(-1)^ksum_{j=0}^kegin{bmatrix}k\jend{bmatrix}(-n)^j\
&=sum_{j=0}^mn^jsum_{k=j}^{m}egin{Bmatrix}m\kend{Bmatrix}egin{bmatrix}k\jend{bmatrix}(-1)^{k-j}
end{align}
]
于是我们就得到了一个反转公式，另一个证明方法类似，反过来带入就可以了。
[sum_{k=j}^megin{Bmatrix}m\kend{Bmatrix}egin{bmatrix}k\jend{bmatrix}(-1)^{k-j}=[j=m]
]
然后我们就可以证明斯特林反演了：
[egin{align}
displaystyle
若满足g(n)&=sum_{j=0}^n(-1)^{n-j}egin{bmatrix}n\jend{bmatrix}f(j)\
则f(n)&=sum_{j=0}^n[j==n]f(j)\
&=sum_{j=0}^nsum_{k=j}^negin{Bmatrix}n\kend{Bmatrix}egin{bmatrix}k\jend{bmatrix}(-1)^{k-j}f(j)\
&=sum_{k=0}^negin{Bmatrix}n\kend{Bmatrix}sum_{j=0}^k(-1)^{k-j}egin{bmatrix}k\jend{bmatrix}f(j)\
&=sum_{k=0}^negin{Bmatrix}n\kend{Bmatrix}g(k)
end{align}
]