题目链接
LOJ：https://loj.ac/problem/3086
洛谷：https://www.luogu.org/problemnew/show/P5303
Solution
显然不考虑(1 imes 1)的矩形就是斐波那契数列，设为(g)，则(g_n=g_{n-1}+g_{n-2})。
设考虑的方案数为(f)，那么可以枚举放哪里得到一个暴力式子：
[egin{align}f_n&=2sum_{i=1}^{n}sum_{j=i+2}^{n}g_{i-1}cdot g_{n-j}\
f_n&=2sum_{i=1}^{n}g_{i-1}sum_{j=i+2}^{n}g_{n-j}\
f_n&=2sum_{j=3}^{n}g_{n-j}sum_{i=1}^{j-2}g_{i-1}\
f_n&=2sum_{j=3}^{n}g_{n-j}s_{j-3}
end{align}
]
设(s)为(g)的前缀和。
然后我们考虑(f_{n+1})用已知量凑出来：
[egin{align}
frac{1}{2}f_{n+1}&=sum_{i=3}^{n+1}g_{n+1-i}s_{i-3}\
frac{1}{2}f_{n+1}&=s_{n-2}+s_{n-3}+sum_{i=3}^{n-1}g_{n+1-i}s_{i-3}\
frac{1}{2}f_{n+1}&=s_{n-2}+s_{n-3}+sum_{i=3}^{n-1}(g_{n-i}+g_{n-i-1})s_{i-3}\
frac{1}{2}f_{n+1}&=s_{n-2}+s_{n-3}+sum_{i=3}^{n}g_{n-i}s_{i-3}-s_{n-3}+sum_{i=3}^{n-1}g_{n-i-1}s_{i-3}\
f_{n+1}&=2s_{n-2}+f_n+f_{n-1}
end{align}
]
其实到这里已经可以矩阵维护了，但是那样矩阵会设的很大，对于前缀和我们考虑如何递推：
[s_n=2+sum_{i=2}^{n}g_i=2+sum_{i=2}^{n}g_{i-1}+g_{i-2}=s_{n-1}+s_{n-2}+1
]
那么变一下就是：
[s_n=s_{n+2}-s_{n-1}-1=g_{n+2}-1
]
那么我们只需要开(5 imes 5)的矩阵维护就好了，复杂度(O(125Tlog n))。
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
void read(int &x) {
x=0;int f=1;char ch=getchar();
for(;!isdigit(ch);ch=getchar()) if(ch=='-') f=-f;
for(;isdigit(ch);ch=getchar()) x=x*10+ch-'0';x*=f;
}
void print(int x) {
if(x<0) putchar('-'),x=-x;
if(!x) return ;print(x/10),putchar(x%10+48);
}
void write(int x) {if(!x) putchar('0');else print(x);putchar('
');}
#define lf double
#define ll long long
#define pii pair<int,int >
#define vec vector<int >
#define pb push_back
#define mp make_pair
#define fr first
#define sc second
#define FOR(i,l,r) for(int i=l,i##_r=r;i<=i##_r;i++)
const int maxn = 2e5+10;
const int inf = 1e9;
const lf eps = 1e-8;
const int mod = 1e9+7;
int n,T;
const int tmp[5][5] =
{{1,1,0,0,0},
{1,0,0,0,0},
{2,0,1,1,0},
{0,0,1,0,0},
{mod-2,0,0,0,1}};
int add(int x,int y) {return x+y>=mod?x+y-mod:x+y;}
int del(int x,int y) {return x-y<0?x-y+mod:x-y;}
int mul(int x,int y) {return 1ll*x*y-1ll*x*y/mod*mod;}
struct Matrix {
int a[6][6];
Matrix () {memset(a,0,sizeof a);}
Matrix operator * (const Matrix &r) const {
Matrix res;
for(int i=0;i<5;i++)
for(int j=0;j<5;j++)
for(int k=0;k<5;k++)
res.a[i][j]=add(res.a[i][j],mul(a[i][k],r.a[k][j]));
return res;
}
void print() {
FOR(i,0,4){FOR(j,0,4)printf("%d ",a[i][j]);puts("");}puts("");
}
};
Matrix qpow(Matrix a,int x) {
Matrix res;for(int i=0;i<5;i++) res.a[i][i]=1;
for(;x;x>>=1,a=a*a) if(x&1) res=res*a;
return res;
}
void solve() {
read(n);if(n<=2) return puts("0"),void();
Matrix ans,res;
FOR(i,0,4) FOR(j,0,4) res.a[i][j]=tmp[i][j];
ans.a[0][2]=2,ans.a[0][3]=1,ans.a[0][4]=1;
write((ans*qpow(res,n-2)).a[0][0]);
}
int main() {
read(T);while(T--) solve();
return 0;
}