第一类和第二类斯特林数

第一类斯特林数

第一类斯特林数定义如下：

(s_1(n,k))表示(n)个元素组成(k)个圆排列的方案数。

其中(n)个元素的圆排列定义为(n)个元素围成一圈的排列，两个圆排列本质相同当且仅当两个圆排列以任意方式旋转之后相同。

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那么我们可以得到第一类斯特林数的递推公式：

[s_1(n,k)=s_1(n-1,k-1)+(n-1)cdot s_1(n-1,k) ]

这个很好理解，第一项是第(n)个元素单独组成一个圆排列，第二项是不单独组成，那么我可以把第(n)个元素放在任意一个元素的左边（右边），这里左边和右边其实是等价的。

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这样求出(s_1(n,k))时空复杂度都是(O(nk))的，但是我们还有更优秀的做法：

考虑下面这个生成函数：

[F(x)=prod_{i=0}^{n-1}(x+i) ]

其中([x^k]F(x))就是(s_1(n,k))。

这个可以对照着前面的递推方程感性理解，基本上就是每乘一次((x+i))就表示从(s_1(n,k))转移到(s_1(n+1,k))。

那么我们就可以分治(FFT)优化到(O(nlog^2n))。

好像还有一种倍增的(O(nlog n))的做法先咕着以后再填。

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例题：

[洛谷4609] [FJOI2016]建筑师，这个直接暴力递推就好了。

[CF960G] Bandit Blues，这个需要分治(FFT)。

第二类斯特林数

第二类斯特林数定义如下：

(s_2(n,k))表示把(n)个不同的元素放到(k)个无差别的盒子的方案数。

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那么很显然我们可以得到递推式：

[s_2(n,k)=s_2(n-1,k-1)+kcdot s_2(n-1,k) ]

复杂度(O(nk))。

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考虑一个比较有意思的东西，假设我们现在要算(s_2(n,k))，设(f(i))表示至少(i)个盒子空着的方案数，(g(i))表示恰好(i)个盒子空着的方案数。

那么我们可以得到：

[f(i)=sum_{j=i}^kinom{j}{i}g(j)=inom{k}{i}(k-i)^n ]

对其广义容斥一下可得：

[g(i)=sum_{j=i}^k(-1)^{j-i}inom{j}{i}inom{k}{j}(k-j)^n ]

那么可以据此算出(s_2)：

[s_2(n,k)=g(0)=sum_{i=0}^k(-1)^iinom{k}{i}(k-i)^n ]

注意到这是个卷积的形式，所以我们可以在(O(nlog n))的时间内求出(s_2(n,i))的每一项，这里每一项指的是对于给定的(n)，(iin [1,n])的每一项。

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例题：

洛谷P4091 [HEOI2016/TJOI2016]求和，solution是很久以前写的了，不是很好看...还是放这里吧：sol。