反质数

反质数( 数学(star ))

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Descrption

• 对于任何正整数 (x)，其约数的个数记作 (g(x))。例如 (g(1)=1,g(6)=4)。
• 如果某个正整数 (x) 满足：
  • 对任意的 (i(0<i<x)) 满足 (g(x)>g(i))，则称 (x) 为反质数。
  • 例如，整数 (1,2,4,6)等都是反质数。
• 现在给定一个数 (N) ，你能求出不超过 (N) 的最大的反质数么？

Input

• 一个数(N(1<=N<=2 imes 10^9))。

Output

• 不超过 (N) 的最大的反质数。

Sample Input

1000

Sample Output

840

Hint

• 保证 (25\%) 的数据 (1<=N<=10^3).
• 保证(50\%) 的数据 (1<=N<=1^5).
• 保证 (75\%) 的数据 (1<=N<=10^8).
• 保证 (100\%) 的数据 (1<=N<=2 imes 10^9).
• 来源：(luogup1463)

分析

• 先举个简单的例子，求一个数 (756) 的约数总个数。

  • 先将 (756) 分解质因子，得到 (756=2^2×3^3×7^1)，再把三个指数加一连乘就是 (756) 约数的总个数：((2+1)×(3+1)×(1+1)=24)。

• 在本题中，所要求的是 (1sim N) 范围内最大的反质数，实际上也就是要求约数个数最多的那个数。那么，一个数最多会有多少个不同的质因子呢？最多又会有多少个约数呢？

  • 粗略估算：(2×3×5×7×11×13×17×19×23×29=6469693230>2×10^9)。所以，我们就得到了一个很重要的性质：
    • 性质一：在 (1sim 2×10^9) 中，一个数最多有 (10) 个不同的质因子。
    • 性质二：在 (1sim 2×10^9) 中一个数其约数个数大致也就是 (10^4sim 10^5) 级别。
  • 这两个性质虽然是通过估算得出的，但其正确性是无庸质疑的。在以后的算法设计中，这两个性质将起着举足轻重的作用。

• 再回头看对正整数 (756) 的分析：(756=2^2×3^3×7^1) ，共有 (24) 个约数。那么它是否是一个“反质数”呢？ 显然，我们可以构造出另一个正整数，也有 (24) 个约数，却比 (756) 要小：(540=2^2×3^3×5^1)。

  • 构造反例的原理在于，(756) 的质因子 (2,3,7) 不是连续的质数，漏了 (5)，用 (5) 代替 (7)，而指数不变就可以构造出一个更小的但有着相同约数个数的正整数。因此，我们又得到了一个关于“反质数”的性质：
    • 性质三：一个反质数的质因子必然是从 (2) 开始连续的质数。
  • 分析至此，对“一个数和其约数”，“反质数”我们已有了初步的了解，并且大致掌握了一些基础性质。下面，在这些分析的基础上，我们开始尝试着设计一个时间效率上能够被接受的算法。

• 算法设计

  • 由于题目中 (N) 的范围很大——有 (2×10^9)，所以想通过求出每个数约数的个数，最后通过统计找出最大的反质数，这种方法效率很低，是不现实的。我们必须另辟蹊径。
  • 在 (1sim 2×10^9) 中有很多数显然不是“反质数”，在先前的分析中，性质三就充分说明了这一点。
  • 根据题目对“反质数”的定义，我们知道，不可能有两个反质数，其约数个数相同。那么，根据性质二，“反质数”的个数将远远小于 (2×10^9)，而只是 (10^4) 到 (10^5) 级别。这样一来，我们就可以考虑直接产生所有的“反质数”，再从中找出最大的。
  • 在先前的题意分析中，我们知道：“反质数”与一个数的约数总数，质因子总数都有着莫大的联系，不妨将这个因素放在一起。
  • 设 (f[i][j]) 记录的是：约数总数为 (i)，有 (j) 个不同的质因子的最小正整数。
  • 还是举个简单例子，(f[12][3]=60,60=2^2×3^1×5^1)。而 (f[6][2]=12=2^2×3^1) ，即：(f[12][3]=f[6][2]×5) 。
  • 状态转移方程：假设 (p[j]) 记录的是第 (j) 大的质数。
    • $ f[i][j]=min(f[frac{i}{k+1}][j-1]*p[j]^k)$ 其中 (i mod (k+1)==0,p[j]^k<=N)
  • 边界条件：$ f[1][0]=1$ 。
  • 以质因子个数 (j) 为阶段。根据性质二，参数 (i) 的范围不超过是(10^5)，参数 (j) 的范围不超过 (10)。所以，算法的空间复杂度还是可以承受的，不超过 (O(sqrt(N)log2N))。在状态转移中，由于有 (p[j]^2<=N)，所以 (k) 不会超过 (log2N)，因此，算法的时间复杂度不超过 (O(sqrt(N)(log2N)^2)) 也是可以被接受的。

• 方法二：

  • 由于(2*3*5*7*11*13*17*19*23*29>2*10^9) ,所以可以通过搜索枚举约数
  • 如果反素数 (n=p_1^{a_1}*p_2^{a_2}*...*p_n^{a_n})，它的约束个数为 ((a_1+1)*(a_2+1)*...*(a_n+1)) ,而且我们很容易知道 (a_1>=a_2>=a_3>=...>=a_n) 。所以通过搜索枚举各素约数的个数很快就能过了。。。。。