Tarjan算法求双连通分量

Tarjan算法求双连通分量

• 双连通
  1. 边双连通：连通的无向图中，对于两个点 u和v ，如果无论删去哪条边（只能删去一条）都不能使它们不连通，我们就说 u和v 边双连通 。
  2. 点双连通：连通的无向图中，对于两个点 u和v ，如果无论删去哪个点（只能删去一个，且不能删u和v 自己）都不能使它们不连通，我们就说u 和v 点双连通 。
  3. 边双连通具有传递性，即，若x,y 边双连通，y,z 边双连通，则x,z 边双连通。
  4. 点双连通 不 具有传递性，反例如下图，A,B 点双连通，B,C 点双连通，而A,B 不 点双连通。

• 割点和割边

  1. 割点：对于一个无向图，如果把一个点删除后这个图的极大连通分量数增加了，那么这个点就是这个图的割点（又称割顶）。

     • 割点的性质：

       1. 根结点：如果是割点条件是，当且仅当其子节点数大于等于 2；
       2. 非根节点 ：u 如果是割点，当且仅当 u 至少存在一个子树v，v中没有连向 u 的祖先的边(返祖边)。即v访问结束时满足low[v]>=dfn[u]。

       • code

         void tarjan(int u,int fa){ //当fa=0时，说明该节点是根节点;
             int num=0; //用来记录子节点数；
             low[u]=dfn[u]=++Time;
             for(int i=head[u];i;i=e[i].next){
                 int v=e[i].to;
                 if(!dfn[v]){//v为白点，即(u,v)为树枝边
                     tarjan(v,u);
                     low[u]=min(low[u],low[v]);
                     if(!fa && ++num>1||fa && low[v]>=dfn[u]){  
                     //1.根节点是割点，且子节点数大于等于2； 
                     //2.非根节点是割点，且子节点中没有返祖边； 
                         cutpoint[u]=1; //标记该点为一个割点；
                     }
                 }
                 else if(v!=fa){//返祖边
                     low[u]=min(low[u],dfn[v]);
                 }
             }
         }
         

  2. 割边：对于一个无向图，如果删掉一条边后图中的连通分量数增加了，则称这条边为桥或者割边。

     • 桥的性质：

       1. 边(u, v)在dfs 树中。如果u 为v 的父亲，v 的子树中没有向u 或其祖先连的边。

       2. 如果桥(u,v)的两个端点都不是叶子节点，则节点u和v为割点。

       • code

         void tarjan(int u,int fa){
             bool flag=0; //用来判断是否存在重边
             low[u]=dfn[u]=++Time;
             for(int i=head[u];~i;i=e[i].next){
                 int v=e[i].to;
                 if(!dfn[v]){
                     tarjan(v,u);
                     low[u]=min(low[u],low[v]);//儿子更新父亲
                     if(dfn[v]==low[v]){//它的子节点v的子树中，没有像u或其祖先连的边(返祖边)
                         bridge[i]=bridge[i^1]=1;  //边i和i的反向边是桥，边的编号从0开始
                     }
                 }
                 else if(v!=fa || flag){//重边，两个点算环
                     low[u]=min(low[u],dfn[v]);            
                 }
                 else flag=1;//反向边置标记为1
             }
         }
         

• 双连通分图

  1. 边双连通图：如果任意两点至少存在两条边不重复路径，则称该图为边双连通的。

     • 边双连通图的定义等价于任意一条边至少在一个简单环中。

     • 边连通分量：边双连通的极大子图称为边双连通分量。

     • 边双连通分量的特点

       1. 任意一条边至少包含在一个简单环。
       2. 连通分量里没有桥。
       3. 割点只属于一个边双连通分量
       4. 两个边双连通分量最多只有一条边，且必为桥。进一步地，所有边双与桥可抽象为一棵树结构。

     • 边双连通分量里，一个点有可能出现在多个简单环里，所以我们在当前点u的所有子树访问结束，即变黑后，如果dfn[u]==low[u]，从栈顶到u的点均为同一边双连通分量，节点u必然是此边双的最早访问的点。

     • code

       void tarjan(int u,int fa){
           bool flag=0;//是否有重边
           low[u]=dfn[u]=++Time;
           st[++Top]=u;//依次进栈
           for(int i=head[u];i;i=e[i].next){
               int v=e[i].to;
               if(!dfn[v]){//白点
                   tarjan(v,u);
                   low[u]=min(low[u],low[v]);//儿子更新父亲
               }
               else if(v!=fa || flag){//重边
                   low[u]=min(low[u],dfn[v]);
               }
               else flag=1;//反向边置标记为1
           }  //u的子树全部访问结束，边双缩点
           if(low[u]==dfn[u]){ 
               num++;
               int tmp;
               do{
                   tmp=st[Top--]; //退栈,原来栈中的元素构成一个边双
                   belong[tmp]=num;
               }while(tmp!=u);
           }
       }
       

  2. 点双连通图：如果任意两点至少存在两条点不重复的路径，则称这个图为点双连通的（简称双连通）；

     • 点双连通图的定义等价于任意两个点都在同一个简单环中。

     • 点双连通分量：点双连通的极大子图称为点双连通分量（简称双连通分量）

     • 点双连通分量的特点：

       1. 该连通分量的点在同一简单环
       2. 该连通分量没有桥。
       3. 一个割点可以多个点连通分量。

     • code

       void tarjan(int u,int fa){
           low[u]=dfn[u]=++Time; 
           st[++Top]=u;//依次进栈
           for(int i=head[u];i;i=e[i].next){  
               int v=e[i].to;
               if(!dfn[v]){
                   tarjan(v,u);
                   low[u]=min(low[u],low[v]);
                   if(dfn[u]<=low[v]){//如果u为割点，点双缩点                
                       ++num; //num表示第几个点双区域(一个图可能存在多个点双) 
                       while(st[top+1]!=v){//从栈顶到v依次出栈
       					int w=s[top--];//去栈顶并退栈
       					dcc[num].push_back(w);//节点v属于编号为num的点双
       				}
                       dcc[num].push_back(u);//u可以在多个dcc，所以不出栈
                   }
               }
               else if(v!=fa){
                   low[u]=min(low[u],dfn[v]);
               }
           }
       }
       

4. 强连通分量和双连通分量常见的模型和问法

• 双连通分量

  1. 有一些点，一些边，加最少的边，要使得整个图变成双联通图。
     • 如果是连通图，先缩点，建图，新图为一颗树，求出叶子节点个数cnt，最后答案为(cnt+1)/2
     • 如果是非连通图，缩点后，先把单点连起来，再来就算叶子个数，或把单点算两个叶子。
  2. 连通图，给一个起点和一个终点，问从起点到终点的必经点。
     • 点双缩点，然后建成树，起点到终点路径上点均为必经点。

• 强连通分量

  1. 有一些点，一些有向边，求至少加多少边使任意两个点可相互到达
     • 求出所有的分量，缩点，分别求出出度和入度为0的点的数量，取多的为答案；
  2. 有一些点，一些有向边，求在这个图上走一条路最多可以经过多少个点
     • 求出所有的分量，缩点，形成一个或多个DAG图，然后做DAG上的dp
  3. 有一些点，一些有向边，给出一些特殊点，求终点是特殊点的最长的一条路
     • 求出所有分量，并标记哪些分量有特殊点，然后也是DAG的dp

5. Tarjan求最大最小环

• Tarjan算法一般用来强连通分量，它依次访问图中的各个强连通分量，这题要求最大环，而环也是强连通分量的一部分.

• 在每个点访问其他点时修改时间戳，达到每个环上时间戳连续的目的，这样当访问到一个栈中节点时就能直接更新最大环了。根据同样的思路，即使边权任意，也可求最大环或最小环。

• code

  void tarjan(int fa,int u){
  	dfn[u]=low[u]=++Time;	
  	vis[u]=1;s[++top]=u;
  	for(int i=head[u];i;i=e[i].next){
  		int v=e[i].to;
  		if(fa==v)continue;
  		if(!dfn[v]){
  			int tmp=Time;//先记录父节点u的时间戳
  			tarjan(u,v);
  			Time=tmp;//子树v处理完了，让下一个子树时间戳从Time+1开始
  			low[u]=min(low[u],low[v]);	
  		}else if(vis[v]==1){//发现返祖边
  			low[u]=min(low[u],dfn[v]);
  			ans=max(ans,dfn[u]-dfn[v]+1);//环上的点的dfn值是连续的
  		}
  	}
  

  • 那求最小环如何求？
  • 带权最小环或最大环如何求呢？