差分约束

差分约束

1. 概念

• 如果一个系统由n个变量和m个约束条件组成，形成m个形如(a_i-a_jle k)的不等式((i,jin [1,n],k)为常数),则称其为差分约束系统。

2. 引例

• 给定n个变量和m个不等式，每个不等式形如(x_i- x_jle w)，求(x_{n-1}-x_0) 的最大值。(0 <= i, j < n)

• 例如n=4,m=5，有如下五个不等式：

  • (x_1 - x_0le 2) ①
  • (x_2 - x_0 le7) ②
  • (x_3 - x_0le 8) ③
  • (x_2 - x_1le 3) ④
  • (x_3 - x_2le 2) ⑤

• 对上面的五个不等式进行运算，我们能得到(x_3-x_0) 的三个不等式：

  1. ③ $ Rightarrow x_3 - x_0le 8$
  2. ② + ⑤ $ Rightarrow x_3 - x_0le 9$
  3. ① + ④ + ⑤ $ Rightarrow x_3 - x_0le 7$

• 显然上面三个不等式都满足，则(x_3-x_0=min(8,9,7)) ，即(x_3-x_0) 最大为7。

• 令(x_3=d[v], x_0=d[u]) 不等式右边的值为(w(u,v)) 表示u到v的距离，然后对上面三个不等式移项可得：

  • (d[v]le d[u]+w(u,v))
  • 对上面的式子大家是不是很熟悉，跟我们求最短路的松弛很相像！

• 对上面的关系，如果(x_1-x_0le 2)，则我们就建一条(x_0 ightarrow x_1) 权值为2的有向边，我们用下图来表示：

• 

• 对上图，如果我们要想求(x_i- x_j) 的最大值，我们只需求出(x_j ightarrow x_i) 的最短路即可。

3. 问题解的存在性

• 由于在求解最短路时会出现存在负环或者终点根本不可达的情况，在求解差分约束问题时同样存在
  1. 存在负环：如果路径中出现负环，就表示最短路可以无限小，即不存在最短路，那么在不等式上的表现即(x_{n-1}-x_0 le w)中的 (w) 无限小，得出的结论就是 (x_{n-1}-x_0) 的最大值不存在。在SPFA实现过程中体现为某一点的入队次数大于节点数。
  2. 终点不可达：这种情况表明(x_{n-1})和(x_0) 之间没有约束关系，(x_{n-1}-x_0) 的最大值无限大，即(x_{n-1})和 (x_n) 的取值有无限多种。在代码实现过程中体现为(dis[n-1]=INF)。

4. 不等式组的转化

• 做题时可能会遇到不等式中的符号不相同的情况，但我们可以对它们进行适当的转化：
  1. 方程给出：(x_{n-1}-x_0ge w),可以进行移项转化为：(x_0-x_{n-1}le -w)。
  2. 方程给出：(x_{n-1}-x_0<w), 可以转化为：(x_{n-1}-x_0le w-1)。
  3. 方程给出：(x_{n-1}-x_0 =w)，可以转化为(x_{n-1}-x_0le w && x_{n-1}-x_0 ge w)，再利用1.进行转化即可。

5. 应用

• 对于不同的题目，给出的条件都不一样，我们首先需要关注问题是什么
  • 如果需要求的是两个变量差的最大值，那么需要将所有不等式转变成<=的形式，建图后求最短路；
  • 如果需要求的是两个变量差的最小值，那么需要将所有不等式转化成>=，建图后求最长路。

例题

1. poj1716 Integer Intervals

   Description

   • 区间[a,b], a<b，表示包含a,b连续整数的集合，给出若干个类似的区间集合，我们从每个集合中至少挑出2个元素组成一个新的集合，求满足条件新集合最小元素个数。

   Input

   • 第一行有一个整数n(1le nle 10000);
   • 接下来n行，包含两个整数a,b((0le a<ble 10000))，表示区间[a,b]。

   Output

   • 输出满足条件集合的最少元素个数。

   Sample Input

   4
   3 6
   2 4
   0 2
   4 7
   

   Sample Output

   4
   

   • 分析：

     • 令sum[x]为区间集合[0,x]中的被选中的元素个数。
     • 显然，区间集合[a,b]必须满足：sum[b+1]-sum[a]>=2
     • 隐含的约束条件：0<=sum[i+1]-sum[i]<=1，即单个元素的集合
     • 对上面的三个不等式我们统一格式可化为：
       • (sum[b+1]-sum[a]>=2) 建边：Insert(a,b+1,2)
       • (sum[i+1]-sum[i]>=0) 建边：Insert(i,i+1,0)
       • (sum[i]-sum[i+1]>=-1) 建边：Insert(i+1,i,-1)
     • 建边后跑个最长路即可。

   • 代码：

     //#include <bits/stdc++.h>
     #include <cstdio>
     #include <cstring>
     #include <algorithm>
     #include <queue>
     const int maxn=1e4+5,Inf=0x3f3f3f3f;
     struct node{int to,dis,next;} e[maxn*3];
     int dis[maxn],vis[maxn],head[maxn];
     int n,len; 
     void Insert(int u,int v,int w){
         e[++len].to=v;e[len].dis=w;e[len].next=head[u];head[u]=len;
     }
     void spfa(int s,int t){
         for(int i=0;i<=t;i++){//初始化 
             dis[i]=-Inf;vis[i]=0;
         }
         std::queue<int>q;
     	vis[s]=1;dis[s]=0;q.push(s);//起点入队 
         int cnt[maxn]={0};//cnt[i]表示节点i的进队次数，判正环用 
         cnt[s]++;
         while(!q.empty()){		
             int u=q.front();q.pop();vis[u]=0;        
             for(int i=head[u];i;i=e[i].next){
                 int v=e[i].to, w=e[i].dis;
                 if(dis[v]<dis[u]+w){
                     dis[v]=dis[u]+w;
                     if(!vis[v]){
                         vis[v]=1;q.push(v);cnt[v]++;
                         if(cnt[v]>t)return;//说明有正环 
                     }
                 }
             }
         }
     }
     void Solve(){
     	while(~scanf("%d",&n)){
             len=0;memset(head,0,sizeof(head));//多组数据，注意初始化 
             int Max=0;//记录区间右边界的最大值 
             for(int i=0;i<n;i++){
                 int a,b;scanf("%d%d",&a,&b);
                 Insert(a,b+1,2);
                 Max=std::max(Max,b+1);
             }
             for(int i=0;i<=Max;i++){//处理隐含条件 
                 Insert(i,i+1,0);Insert(i+1,i,-1);
             }
             spfa(0,Max);
             printf("%d
     ",dis[Max]);
         }
     } 
     int main(){   
         Solve(); 
         return 0;
     }
     

2. hdu 3666THE MATRIX PROBLEM

   Description

   • 给你一个(M imes N)的矩阵，矩阵元素为不超过1000的正数，问是否存在n个数的序列(a_1,a_2,...,a_n)，和m个数(b_1,b_2,...,b_m)，满足使第i行的每个元素乘以(a_i),第j列中的每个元素除以(b_j)之后，这个矩阵中的每个元素都在L和U之间，L表示元素的下界，U表示元素的上界。

   Input

   • 存在多组数据
   • 每组数据第一行有四个整数N,M,L,U(1<=N,M<=400,1<=L<=U<=10000)，接下来N行，每行M个整数，表示矩阵元素。

   Output

   • 如果存在输出 YES，否则输出NO。

   Sample Input

   3 3 1 6
   2 3 4
   8 2 6
   5 2 9
   

   Sample Output

   YES
   

   • 分析：

     • 这算是隐藏比较深的差分约束了，我们可以进行以下推导：

       根据题意有: L<=mp[i][j]*a[i]/b[j]<=R
       移项可得:   L/mp[i][j]<=a[i]/b[j]<=R/mp[i][j]
       因为我们不用求出具体的值，只需判断是否满足条件，对两边取对数可以把除法变成减法
       两边取对数: log(L/mp[i][j])<=log(a[i]/b[j])<=log(R/mp[i][j])
       即         log(L/mp[i][j])<=log(a[i])-log(b[j])<=log(R/mp[i][j])
       建立不等式  log(b[j])-log(a[i])<=-log(L/mp[i][j]) 
                  log(a[i])-log(b[j])<=log(R/mp[i][j])
       

     • 于是就可以建边了，建边后跑个最短路看看解是否存在即可

     • 由于这样建边没有起点，故我们可以加上一个超级源点，让它与所有点相连，权值为0。

     • 由于这道题时间卡得比较紧，判断是否存在负环时需要优化下，判断条件为入队次数>sqrt(n+m)。

   • code

     //#include <bits/stdc++.h>
     #include <cstdio>
     #include <cstring>
     #include <queue>
     #include <cmath>
     const int maxn= 400+5;
     double dis[maxn];
     int vis[maxn],head[maxn];
     int n,m,len;
     struct node{int to,next;double w;} e[maxn*(maxn+1)];
     void Insert(int u,int v,double w){
         e[++len].to=v;e[len].w=w;e[len].next=head[u];head[u]=len;
     }
     int spfa(int s){
         memset(vis,0,sizeof(vis));memset(dis,0,sizeof(0x4c));
         int cnt[maxn]={0};
         std::queue<int>q;q.push(s);
     	vis[s]=1;dis[s]=0;cnt[s]++;    
         while(q.empty()){
             int u=q.front();q.pop();vis[u]=0;
             for(int i=head[u]; i; i=e[i].next){
                 int v=e[i].to;double w=e[i].w;
                 if(dis[v]>dis[u]+w){
                     dis[v]=dis[u]+w;
                     if(!vis[v]){
                         vis[v]=1;q.push(v);cnt[v]++;
                         if(cnt[v]>sqrt(n+m))
                             return 0;
                     }
                 }
             }
         }
         return 1;
     }
      
     int main(){
         double L,U,x;
         while(~scanf("%d%d%lf%lf",&n,&m,&L,&U))    {
             len=0;memset(head,0,sizeof(head));
             for(int i=1;i<=n;i++)
             	for(int j=1;j<=m;j++){
                 	scanf("%lf",&x);//1~n表示行，n+1~n+m表示列
                 	Insert(n+j,i,log(U/x));Insert(i,n+j,-log(L/x));
             }
             for(int i=1;i<=n+m;i++)Insert(0,i,0);//0作为超级源点
             if(spfa(0))
                 printf("YES
     ");
             else printf("NO
     ");
         }
         return 0;
     }
     

3. 查分约束典型例题

   hdu 3592 World Exhibition ★★☆☆☆ 差分约束系统 - 最短路模型 + 判负环
   hdu 3440 House Man ★★☆☆☆ 差分约束系统 - 最短路模型 + 判负环
   poj 1364 King ★★☆☆☆ 差分约束系统 - 最长路模型 + 判正环
   poj 1932 XYZZY ★★☆☆☆ 最长路 + 判正环
   hdu 3666 THE MATRIX PROBLEM ★★★☆☆ 差分约束系统 - 最长路模型 + 判正环
   poj 2983 Is the Information Reliable? ★★★☆☆ 差分约束系统 - 最长路模型 + 判正环
   poj 1752 Advertisement ★★★☆☆ 限制较强的差分约束 - 可以贪心求解
   hdu 1529 Cashier Employment ★★★☆☆ 二分枚举 + 差分约束系统 - 最长路模型
   hdu 1534 Schedule Problem ★★★☆☆ 差分约束系统 - 最长路模型
   ZOJ 2770 Burn the Linked Camp ★★★☆☆
   hdu 4109 Instrction Arrangement ★★★☆☆