两个字符串的编辑距离-动态规划方法

概念

字符串的编辑距离，又称为Levenshtein距离，由俄罗斯的数学家Vladimir Levenshtein在1965年提出。是指利用字符操作，把字符串A转换成字符串B所需要的最少操作数。其中，字符操作包括：

删除一个字符 a) Delete a character

插入一个字符 b) Insert a character

修改一个字符 c) Replace a character

例如对于字符串"if"和"iff"，可以通过插入一个'f'或者删除一个'f'来达到目的。

一般来说，两个字符串的编辑距离越小，则它们越相似。如果两个字符串相等，则它们的编辑距离（为了方便，本文后续出现的“距离”，如果没有特别说明，则默认为“编辑距离”）为0（不需要任何操作）。不难分析出，两个字符串的编辑距离肯定不超过它们的最大长度（可以通过先把短串的每一位都修改成长串对应位置的字符，然后插入长串中的剩下字符）。

问题描述

给定两个字符串A和B，求字符串A至少经过多少步字符操作变成字符串B。

问题分析

1）首先考虑A串的第一个字符

假设存在两个字符串A和B，他们的长度分别是lenA和lenB。首先考虑第一个字符，由于他们是一样的，所以只需要计算A[2...lenA]和B[2...lenB]之间的距离即可。那么如果两个字符串的第一个字符不一样怎么办？可以考虑把第一个字符变成一样的（这里假设从A串变成B串）：

修改A串的第一个字符成B串的第一个字符，之后仅需要计算A[2...lenA]和B[2...lenB]的距离即可；
删除A串的第一个字符，之后仅需要计算A[2...lenA]和B[1...lenB]的距离即可；
把B串的第一个字符插入到A串的第一个字符之前，之后仅需要计算A[1...lenA]和B[2...lenB]的距离即可。

2）接下来考虑A串的第i个字符和B串的第j个字符。

我们这个时候不考虑A的前i-1字符和B串的第j-1个字符。如果A串的第i个字符和B串的第j个字符相等，即A[i]=B[j]，则只需要计算A[i...lenA]和B[j...lenB]之间的距离即可。如果不想等，则：

修改A串的第i个字符成B串的第j个字符，之后仅需要计算A[i+1...lenA]和B[j+1...lenB]的距离即可；
删除A串的第i个字符，之后仅需要计算A[i+1...lenA]和B[j...lenB]的距离即可；
把B串的第j个字符插入到A串的第i个字符之前，之后仅需要计算A[i...lenA]和B[j+1...lenB]的距离即可。

写到这里，自然会想到用递归求解或者动态规划求解，由于用递归会产生很多重复解，所以用动态规划。

建动态规划方程

用edit[i][j]表示A串和B串的编辑距离。edit[i][j]表示A串从第0个字符开始到第i个字符和B串从第0个字符开始到第j个字符，这两个字串的编辑距离。字符串的下标从1开始。

dis[0][0]表示word1和word2都为空的时候，此时他们的Edit Distance为0。很明显可以得出的，dis[0][j]就是word1为空，word2长度为j的情况，此时他们的Edit Distance为j，也就是从空，添加j个字符转换成word2的最小Edit Distance为j；同理dis[i][0]就是，word1长度为i，word2为空时，word1需要删除i个字符才能转换成空，所以转换成word2的最小Edit Distance为i。

则从上面的分析，不难推导出动态规划方程：

，其中

上式中的min（）函数中的三个部分，对应三种字符操作方式：

edit[i-1][j]+1相当于给word2的最后插入了word1的最后的字符，插入操作使得edit+1，之后计算edit[i-1][j]；

edit[i][j-1]+1相当于将word2的最后字符删除，删除操作edit+1，之后计算edit[i][j-1];

edit[i-1][j-1]+flag相当于通过将word2的最后一个字符替换为word1的最后一个字符。flag标记替换的有效次数。

算法分析：

也就是说，就是将一个字符串变成另外一个字符串所用的最少操作数，每次只能增加、删除或者替换一个字符。
首先我们令word1和word2分别为：michaelab和michaelxy（为了理解简单，我们假设word1和word2字符长度是一样的），dis[i][j]作为word1和word2之间的Edit Distance，我们要做的就是求出michaelx到michaely的最小steps。

首先解释下dis[i][j]：它是指word1[i]和word2[j]的Edit Distance。dis[0][0]表示word1和word2都为空的时候，此时他们的Edit Distance为0。很明显可以得出的，dis[0][j]就是word1为空，word2长度为j的情况，此时他们的Edit Distance为j，也就是从空，添加j个字符转换成word2的最小Edit Distance为j；同理dis[i][0]就是，word1长度为i，word2为空时，word1需要删除i个字符才能转换成空，所以转换成word2的最小Edit Distance为i。下面及时初始化代码：

for (int i = 0; i < row; i++) dis[i][0] = i;
for (int j = 0; j < col; j++) dis[0][j] = j;

    下面来分析下题目规定的三个操作：添加，删除，替换。

    假设word1[i]和word2[j](此处i = j)分别为：michaelab和michaelxy

    如果b==y,

        那么：dis[i][j] = dis[i-1][j-1]。

    如果b!=y，

        那么：添加：也就是在michaelab后面添加一个y，那么word1就变成了michaelaby，

             此时  dis[i][j] = 1 + dis[i][j-1]；

    上式中，1代表刚刚的添加操作，添加操作后，word1变成michaelaby，word2为michaelxy。

    dis[i][j-1]代表从word1[i]转换成word2[j-1]的最小Edit Distance，也就是michaelab转换成michaelx的最小

    Edit Distance，由于两个字符串尾部的y==y，所以只需要将michaelab变成michaelx就可以了，而他们之间的最

    小Edit Distance就是dis[i][j-1]。

    删除：也就是将michaelab后面的b删除，那么word1就变成了michaela，此时dis[i][j] = 1 + dis[i-1][j]；

    上式中，1代表刚刚的删除操作，删除操作后，word1变成michaela，word2为michaelxy。dis[i-1][j]代表从

    word[i-1]转换成word[j]的最小Edit Distance，也就是michaela转换成michaelxy的最小Edit Distance，所以

    只需要将michaela变成michaelxy就可以了，而他们之间的最小Edit Distance就是dis[i-1][j]。

    替换：也就是将michaelab后面的b替换成y，那么word1就变成了michaelay，此时dis[i][j] = 1 + dis[i-1][j-1]；

    上式中，1代表刚刚的替换操作，替换操作后，word1变成michaelay，word2为michaelxy。dis[i-1][j-1]代表从

    word[i-1]转换成word[j-1]的最小Edit Distance，也即是michaelay转换成michaelxy的最小Edit Distance，由

    于两个字符串尾部的y==y，所以只需要将michaela变成michaelx就可以了，而他们之间的最小Edit Distance就是

    dis[i-1][j-1]。

举例：

比如要计算cafe和coffee的编辑距离。cafe→caffe→coffe→coffee

先创建一个6×8的表（cafe长度为4，coffee长度为6，各加2）

（1）：

	c	o	f	f	e	e

c
a
f
e					表	1

接着，在如下位置填入数字（表2）：

		c	o	f	f	e	e
	0	1	2	3	4	5	6
c	1
a	2
f	3
e	4					表	2

从3,3格开始，开始计算。取以下三个值的最小值：

如果最上方的字符等于最左方的字符，则为左上方的数字。否则为左上方的数字+1。（对于3,3来说为0）
左方数字+1（对于3,3格来说为2）
上方数字+1（对于3,3格来说为2）

因此为格3,3为0（表3）

		c	o	f	f	e	e
	0	1	2	3	4	5	6
c	1	0
a	2
f	3
e	4					表	3

循环操作，推出下表

		c	o	f	f	e	e
	0	1	2	3	4	5	6
c	1	0	1	2	3	4	5
a	2	1	1	2	3	4	5
f	3	2	2	1	2	3	4
e	4	3	3	2	2	2	3

取右下角，得编辑距离为3

代码：

[cpp]view plain copy 
<pre name="code" class="cpp">#include<stdio.h>  
#include<string.h>  
char s1[1000],s2[1000];  
int min(int a,int b,int c)  
{  
    int tmp=a<b?a:b;  
    return tmp<c?tmp:c;  
}  
void editDistance(int len1,int len2)  
{  
    int **d=new int*[len1+1];  
    for(int i=0;i<=len1;i++)  
        d[i]=new int[len2+1];  
    int i,j;  
    for(i=0;i<=len1;i++)  
        d[i][0]=i;  
    for(j=0;j<=len2;j++)  
        d[0][j]=j;  
    for(i=1;i<=len1;i++)  
    {  
        for(j=1;j<=len2;j++)  
        {  
            int cost=s1[i]==s2[j]?0:1;  
            int deletion=d[i-1][j]+1;  
            int insertion=d[i][j-1]+1;  
            int substitution=d[i-1][j-1]+cost;  
            d[i][j]=min(deletion,insertion,substitution);  
        }  
    }  
    printf("距离为:%d
",d[len1][len2]);  
    for(int i=0;i<=len1;i++)  
    {  
        delete[] d[i];  
    }  
    delete[] d;  
}  
   
int main()  
{  
    while(scanf("%s%s",s1,s2)!=EOF)  
    {  
        editDistance(strlen(s1),strlen(s2));  
    }  
}  

概念