移动多少盘子才能完成汉诺塔游戏

题目描述：

汉诺塔（又称河内塔）问题是印度的一个古老的传说。在一个庙里有三根金刚石棒，第一根上面套着 64 个圆的金片，最大的一个在底下，其余一个比一个小，依次叠上去，庙里的众僧不停地把它们一个个地从这根棒搬到另一根棒上，规定可利用中间的一根棒作为辅助，但每次只能搬一个，而且大的不能放在小的上面。经过运算移动圆片的次数为 18446744073709551615，看来众僧们耗尽毕生精力也不可能完成金片的移动。
后来，这个传说就演变为汉诺塔游戏，游戏规则如下：
1）有三根柱子 A、B、C，A 柱上有若干盘子；
2）每次移动一块盘子，小的只能叠在大的上面；
3）把所有碟子从 A 柱全部移到 C 柱上；
4）经过研究发现，汉诺塔的破解很简单，就是按照移动规则向一个方向移动金片；
5）例如 3 阶汉诺塔的移动：A→C，A→B，C→B，A→C，B→A，B→C，A→C。
此外，汉诺塔问题也是程序设计中的经典递归问题。

分析与解答：

如果柱子标为 ABC，那么要由 A 搬至 C，在只有一个盘子时，就将它直接搬至 C，当有两个盘子时，就将 B 当作辅助柱。如果盘数超过 2 个，那么将第三个以下的盘子遮起来，就很简单了，每次处理两个盘子，也就是：A-＞B、A-＞C、B-＞C 这三个步骤，而被遮住的部分，其实就是进入程序的递归处理。事实上，若有 n 个盘子，则移动完毕所需次数为 2n-1，所以当盘数为 64 时，则所需次数为：264-1=18446744073709551615，如果对这数字没什么概念，那么可以假设每秒钟搬一个盘子，也要约 5850 亿年。
实现代码如下：

程序的运行结果为

function hanoi($n, $x, $y, $z){
    if($n === 1){
        echo "移动片1从{$x}到{$z}
";
        return;
    }

    hanoi($n-1, $x, $z, $y);
    echo "移动片{$n}从{$x}到{$z}
";
    hanoi($n-1, $y, $x, $z);

}

hanoi(3,'A','B','C');