并查集的应用之求解无向图中的连接分量个数

一，介绍

本文使用数据结构：并查集 来实现 求解无向图的连通分量个数。

无向图的连通分量就是：无向图的一个极大连通子图，在极大连通子图中任意两个顶点之间一定存在一条路径。对于连通的无向图而言，只有一个连通分量。

二，构造一个简单的无向图

这里仅演示求解无向图的连通分量，因此需要先构造一个无向图。图由顶点和边组成，并采用图的邻接表形式存储。顶点类和边类的定义如下：

    private class Vertex{
        private Integer vertexLabel;
        private List<Edge> adjEdges;//邻接表
        public Vertex(Integer vertexLabel) {
            this.vertexLabel = vertexLabel;
            adjEdges = new LinkedList<ConnectedComponents.Edge>();
        }
    }
    
    private class Edge{
        private Vertex endVertex;
        public Edge(Vertex v) {
            this.endVertex = v;
        }
    }

然后，再使用一个Map来存储图中的顶点。Map的Key为顶点的标识，Value为Vertex顶点对象。关于如何定义一个图，可参考。

private Map<String, Vertex> nondirectedGraph;

三，求解无向图的连通分量的思路

首先需要一个一维数组来存储并查集。这里一维数组的下标表示图的顶点标识，数组元素s[i]有两种表示含义：当数组元素大于0时，表示的是 顶点 i 的父结点位置 ；当数组元素s[i]小于0时，表示的是 顶点 i 为根的子树的高度(秩！)。从而将数组的下标与图的顶点一 一 对应起来。

    private int[] s;
    private int tree_numbers;//并查集中子树的棵数

求解连通的分量的总体思路如下：

①构造一个图。或者说得先有一个图

②根据图中的每一个顶点，初始化并查集。也就是对于每个顶点，构造一棵只有一个顶点的子树(并查集的子树)。

③对于图中的每一条边，这条边一定关联了两个顶点，检查这两个顶点是否在同一个子集合中，如果不在，则执行union操作将这两个顶点合并到同一个集合中

④当遍历完所有的边之后，并查集中子树的个数即为连通分量的个数

伪代码如下：

CONNECTED-COMPONENTS(G)
    for each vertex v belongs to V(G)
          do MAKE-SET(v)
    for each edge(u,v) belongs to E(G)
           do if FIND(u) != FIND(v)
                then UNION(u,v)

四，代码分析及实现

关于并查集的理解参考这篇文章：数据结构--并查集的原理及实现

 为方便起见，这里假设顶点的标识从0开始的字符串类型的连续的数字，如 0，1，2，3，4.......

make_set方法初始化并查集

    private void make_set(Map<String, Vertex> graph){
        int size = graph.size();//顶点的个数
        s = new int[size];
        for(Vertex v : graph.values()){
            s[Integer.valueOf(v.vertexLabel)] = -1;//顶点的标识是从0开始连续的数字
        }
        
        tree_numbers = size;//初始时,一共有 |V| 个子树 
    }

s数组是并查集的存储结构，第2行获取图中顶点的个数，构造并查集数组。其中，数组的下标表示图中顶点的标识，数组元素s[i]有两种表示含义：当数组元素大于0时，表示的是 顶点 i 的父结点位置 ；当数组元素s[i]小于0时，表示的是 顶点 i 为根的子树的高度(秩！)

由于约定了顶点的标识为0,1,2,3.....故第5行根据图中每个顶点来构造一棵单节点的树。

假设无向图如下：顶点的标识为 0,1,2,3,4,5,6

构造初始并查集后，s数组内容如下：

union操作

    private void union(int root1, int root2) {
        if (find(root1) == find(root2))
            return;
        //union中的参数是合并任意两个顶点,但是对于并查集,合并的对象是该顶点所在集合的代表顶点(根顶点)
        root1 = find(root1);//查找顶点root1所在的子树的根
        root2 = find(root2);//查找顶点root2所在的子树的根
        
        if (s[root2] < s[root1])// root2 is deeper
            s[root1] = root2;
        else {
            if (s[root1] == s[root2])// 一样高
                s[root1]--;// 合并得到的新的子树高度增1 (以root1作为新的子树的根)
            s[root2] = root1;// root1 is deeper
        }
        tree_numbers--;// 合并后,子树的数目减少1
    }

注意第5、6行。union操作的对象应该是子树的树根。因为，union时使用了按秩求并，使用的是子树的根结点的秩。

否则的话，程序将会有bug---求出错误的连通分量个数。

求解连通分量的代码如下：

public int connectedComponents(Map<String, Vertex> graph) {
        for (Vertex v : graph.values()) {
            int startLabel = Integer.valueOf(v.vertexLabel);

            List<Edge> edgeList = v.adjEdges;
            for (Edge e : edgeList) {
                Vertex end = e.endVertex;// 获得该边的终点
                int endLabel = Integer.valueOf(end.vertexLabel);

                if (find(startLabel) != find(endLabel))
                    union(startLabel, endLabel);//这两个顶点不在同一个子树中,需要union
            }
        }
        return tree_numbers;
    }

 第5行，遍历图中的每一条边。第10行，对该边关联的两个顶点进行判断：这两个顶点是否已经连通了(在同一棵子树中了)

求解连通分量时，对图中的每个顶点和每条边都进行了一次遍历，故算法的时间复杂度为O(V+E)

五，整个完整代码

import java.util.LinkedHashMap;
import java.util.LinkedList;
import java.util.List;
import java.util.Map;

import c9.topo.FileUtil;

public class ConnectedComponents {
    private class Vertex {
        private String vertexLabel;
        private List<Edge> adjEdges;// 邻接表

        public Vertex(String vertexLabel) {
            this.vertexLabel = vertexLabel;
            adjEdges = new LinkedList<ConnectedComponents.Edge>();
        }
    }

    private class Edge {
        private Vertex endVertex;

        public Edge(Vertex v) {
            this.endVertex = v;
        }
    }

    private Map<String, Vertex> nonDirectedGraph;

    public ConnectedComponents(String graphContent) {
        nonDirectedGraph = new LinkedHashMap<String, ConnectedComponents.Vertex>();

        buildGraph(graphContent);

        make_set(nonDirectedGraph);// 初始化并查集
    }

    private void buildGraph(String graphContent){
        String[] lines = graphContent.split("
");
        
        String startNodeLabel, endNodeLabel;
        Vertex startNode, endNode;
        for(int i = 0; i < lines.length; i++){
            if(lines[i].length()==1)//某行只有一个顶点
            {
                startNodeLabel = lines[i];
                nonDirectedGraph.put(startNodeLabel, new Vertex(startNodeLabel));
                continue;
            }
            String[] nodesInfo = lines[i].split(",");
            startNodeLabel = nodesInfo[0];
            endNodeLabel = nodesInfo[1];
            
            endNode = nonDirectedGraph.get(endNodeLabel);
            if(endNode == null){
                endNode = new Vertex(endNodeLabel);
                nonDirectedGraph.put(endNodeLabel, endNode);
            }
            
            startNode = nonDirectedGraph.get(startNodeLabel);
            if(startNode == null){
                startNode = new Vertex(startNodeLabel);
                nonDirectedGraph.put(startNodeLabel, startNode);
            }
            Edge e = new Edge(endNode);
            //对于无向图而言,起点和终点都要添加边
            endNode.adjEdges.add(e);
            startNode.adjEdges.add(e);
        }
    }

    private int[] s;
    private int tree_numbers;

    private void make_set(Map<String, Vertex> graph) {
        int size = graph.size();
        s = new int[size];
        for (Vertex v : graph.values()) {
            s[Integer.valueOf(v.vertexLabel)] = -1;// 顶点的标识是从0开始连续的数字
        }

        tree_numbers = size;// 初始时,一共有 |V| 个子树
    }

    private void union(int root1, int root2) {
        if (find(root1) == find(root2))
            return;
        //union中的参数是合并任意两个顶点,但是对于并查集,合并的对象是该顶点所在集合的代表顶点(根顶点)
        root1 = find(root1);//查找顶点root1所在的子树的根
        root2 = find(root2);//查找顶点root2所在的子树的根
        
        if (s[root2] < s[root1])// root2 is deeper
            s[root1] = root2;
        else {
            if (s[root1] == s[root2])// 一样高
                s[root1]--;// 合并得到的新的子树高度增1 (以root1作为新的子树的根)
            s[root2] = root1;// root1 is deeper
        }
        tree_numbers--;// 合并后,子树的数目减少1
    }

    private int find(int root) {
        if (s[root] < 0)
            return root;
        else
            return s[root] = find(s[root]);
    }

    public int connectedComponents(Map<String, Vertex> graph) {
        for (Vertex v : graph.values()) {
            int startLabel = Integer.valueOf(v.vertexLabel);

            List<Edge> edgeList = v.adjEdges;
            for (Edge e : edgeList) {
                Vertex end = e.endVertex;// 获得该边的终点
                int endLabel = Integer.valueOf(end.vertexLabel);

                if (find(startLabel) != find(endLabel))
                    union(startLabel, endLabel);
            }
        }
        return tree_numbers;
    }

    // for test purposes
    public static void main(String[] args) {
        String graphFilePath;
        if (args.length == 0)
            graphFilePath = "F:\graph.txt";
        else
            graphFilePath = args[0];

        String graphContent = FileUtil.read(graphFilePath, null);// 从文件中读取图的数据
        ConnectedComponents cc = new ConnectedComponents(graphContent);
        int count = cc.connectedComponents(cc.nonDirectedGraph);
        System.out.println("连通分量个数:" + count);
    }
}

FileUtil类可参考中的完整代码实现。

六，测试

文件格式如下：

第一列表示起始顶点的标识，第二列表示终点的标识。若没有边，则一行中只有一个顶点。

生成的图如下：

整个程序运行完成后，并查集数组内容如下：

结果如下：