二叉查找树的递归实现及递归分析

整体思路：二叉查找树是一棵树，对于树，需要把节点表示出来。由于节点仅仅在树的内部使用，故采用内部类的形式实现。

树作为一种ADT，需要属性及在其上进行的操作。由于大部分树的操作都是从根节点开始的，因此需要一个根节点属性，并可根据自己的需求来确定需要实现哪些操作。

对于二叉查找树，它不是一般的二叉树，它具有特点：任一节点的左子树上的节点都比它小，右子树上的节点都比它大。因此，二叉查找树的方法实现需要满足这个特点。

一，树由结点组成

结点的定义如下：

    private static class BinaryNode<T>{
        T element;
        BinaryNode left;
        BinaryNode right;
        
        public BinaryNode(T element) {
            this(element, null, null);
        }
        
        public BinaryNode(T element, BinaryNode<T>left, BinaryNode<T>right) {
            this.element = element;
            this.left = left;
            this.right = right;
        }
    }

二，二叉查找树 类

对于树，需要有根结点。BinaryNode<T>以静态内部类方式声明在BinarySearchTree<T>中。静态内部类的功能就是：静态内部类的对象的创建不需要依赖其外部类的对象。

BinarySearchTree采用默认构造方法创建对象，然后调用 insert 方法向树中添加节点。

public class BinarySearchTree<T extends Comparable<? super T>> {
    
    ......//BinaryNode<T>的声明
    
    private BinaryNode<T> root;

    ....... // 二叉查找树中的方法
｝

三，二叉查找树的一些方法的递归实现及分析

1) insert(T ele)，向二叉查找树中插入一个元素。插入元素之后，返回树根节点。

正确版本：

private BinaryNode<T> insert(T ele, BinaryNode<T> root){
        if(root == null)
            return new BinaryNode<T>(ele);
        int compareResult = ele.compareTo(root.element);
        if(compareResult > 0)
            root.right = insert(ele, root.right);
        else if(compareResult < 0)
            root.left = insert(ele, root.left);
        else
            ;
        return root;
    }

错误版本一：

    private BinaryNode<T> insert1(T ele, BinaryNode<T> root){
        if(root == null)
            return new BinaryNode<T>(ele);
        
        int compareResult = ele.compareTo(root.element);
        if(compareResult > 0)
            return insert(ele, root.right);
        else if(compareResult < 0)
            return insert(ele, root.left);
        else
            return root;
        
    }

这种版本的递归，返回的是：最后一层递归调用时，root所指向的节点。最后一层递归调用发生在叶子节点上，故返回的root是最后一个插入的元素。

判断递归调用每一层的返回值时，可按照“压栈”的顺序进行分析。

如，上面程序当运行到第7行时，执行递归调用，那么会将当前的环境压入栈中，保存起来。然后执行下一层的方法调用。

当下面的递归调用结束后，程序返回到第7行。继续向后执行，可以看出第8行的 else if 和 第10行的 else的条件都不成立（因为程序已经在第7行条件成立了）

错误版本二：

    private BinaryNode<T> insert2(T ele, BinaryNode<T> root){
        if(root == null)
            return new BinaryNode<T>(ele);
        int compareResult = ele.compareTo(root.element);
        if(compareResult > 0)
            root = insert2(ele, root.right);
        else if(compareResult < 0)
            root = insert2(ele, root.left);
        else
            ;
        return root;
    }

版本二的错误和版本一一样，都没有建立起父节点与左右孩子节点的连接。因此，最终得到的树根节点指向的是最后一个插入的元素。

2）查找二叉树中元素最大的节点

正确版本：

 /*
     * 关于尾递归的返回值,该方法只会返回二个值: null 和 'root'
     * root 是最后一层递归调用时findMax的 root 参数
     */
    private BinaryNode<T> findMax(BinaryNode<T> root){
        if(root == null)
            return null;
        if(root.right == null)
            return root;
        else
            return findMax(root.right);
    }

只有当树为空时，才返回null。第一个if判断才会执行，否则第一个if永远不会执行。每一次递归都会使问题的规模缩小---从以root为根的树，缩小成以root的右孩子为根的树。

错误版本：

    private BinaryNode<T> findMax1(BinaryNode<T> root){
        if(root == null)
            return null;
        else
            return findMax(root.right);
    }
    

该findMax递归版本，不管root是否为空，不管树中有多少个节点，返回的值都为null。从中可以看出，这种形式的递归返回值，由其基准条件来决定。

3)先序遍历的递归算法分析

    public void preOrder(BinaryNode<T> root){
        if(root == null)
            return;
        System.out.print(root.element + " ");
        preOrder(root.left);
        preOrder(root.right);
    }

该方法能够清晰地分析递归的步骤。假设先序遍历为e d c f g
               e
            d      f

        c             g

1）对于节点e，执行到第4行，输出e。在第5行，递归调用preOrder(d)，并把preOrder(e)的相关信息压入栈中保存。

2）对于节点d，执行到第4行，输出d。在第5行，递归调用preOrder(c)，并把preOrder(d)的相关信息压入栈中保存。

3）对于节点c，执行到第4行，输出c。在第5行，递归调用preOrder(c.left ‘null’)，执行到第三行return null.

此时，返回到 2）由于preOrder(d)在栈顶，弹出preOrder(d)的信息。

由于preOrder(d)在它的下一层递归前执行到了第5行，故它从第6行继续向前执行：preOrder(d.right)=preOrder(null)。并又把preOrder(d)的相关信息压入栈中。

4)执行preOrder(d.right==null)从第3行 return null

此时，又弹出preOrder(d)，此时从第6行向下继续执行，遇到了右大括号，执行结束，返回到上层递归处.

5）此时preOrder(e)在栈顶，弹出。从第5行断点处继续向下执行:preOrder(e.right)=preOrder(f)

6) 对于节点f，执行到第4行，输出f。在第5行，递归调用preOrder(f.left)=preOrder(null)，并把preOrder(f)的相关信息压入栈保存。

7）执行preOrder(f.left)在第三行返回，弹出preOrder(f)

8) 从preOrder(f)的断点第5行处向下执行到第6行：preOrder(f.right)=preOrder(g)

9）对于节点g，执行到第4行，输出g。在第5行递归调用preOrder(g.left)，并将preOrder(g)的相关信息入栈....

.....

.....

二叉查找树完整实现代码如下：

package c4;

import java.util.Random;

import c2.C2_2_8;

public class BinarySearchTree<T extends Comparable<? super T>> {

    private static class BinaryNode<T> {
        T element;
        BinaryNode<T> left;
        BinaryNode<T> right;

        public BinaryNode(T element) {
            this(element, null, null);
        }

        public BinaryNode(T element, BinaryNode<T> left, BinaryNode<T> right) {
            this.element = element;
            this.left = left;
            this.right = right;
        }

        public String toString() {
            return element.toString();
        }
    }

    private BinaryNode<T> root;

    public BinarySearchTree() {
        root = null;
    }

    public void makeEmpty() {
        root = null;
    }

    public boolean isEmpty() {
        return root == null;
    }

    public boolean contains(T ele) {
        return contains(ele, root);
    }

    private boolean contains(T ele, BinaryNode<T> root) {
        if (root == null)
            return false;
        int compareResult = ele.compareTo(root.element);
        if (compareResult > 0)
            return contains(ele, root.right);
        else if (compareResult < 0)
            return contains(ele, root.left);
        else
            return true;
    }

    public BinaryNode<T> findMax() {
        return findMax(root);
    }

    /*
     * 关于尾递归的返回值,该方法只会返回二个值: null 和 'root' root 是最后一层递归调用时findMax的 root 参数
     */
    private BinaryNode<T> findMax(BinaryNode<T> root) {
        if (root == null)
            return null;
        if (root.right == null)
            return root;
        else
            return findMax(root.right);
    }

    public BinaryNode<T> findMin() {
        return findMin(root);
    }

    private BinaryNode<T> findMin(BinaryNode<T> root) {
        if (root == null)
            return null;
        if (root.left == null)
            return root;
        else
            return findMin(root.left);
    }

    public void insert(T ele) {
        root = insert(ele, root);// 每次插入操作都会'更新'根节点.
    }

    private BinaryNode<T> insert(T ele, BinaryNode<T> root) {
        if (root == null)
            return new BinaryNode<T>(ele);
        int compareResult = ele.compareTo(root.element);
        if (compareResult > 0)
            root.right = insert(ele, root.right);
        else if (compareResult < 0)
            root.left = insert(ele, root.left);
        else
            ;
        return root;
    }

    public void preOrder(BinaryNode<T> root) {
        if (root == null)
            return;
        System.out.print(root.element + " ");
        preOrder(root.left);
        preOrder(root.right);
    }

    public void inOrder(BinaryNode<T> root) {
        if (root == null)
            return;
        inOrder(root.left);
        System.out.print(root.element + " ");
        inOrder(root.right);
    }

    public int height() {
        return height(root);
    }

    private int height(BinaryNode<T> root) {
        if (root == null)
            return -1;// 叶子节点的高度为0,空树的高度为1

        return 1 + (int) Math.max(height(root.left), height(root.right));
    }

    public static void main(String[] args) {
        BinarySearchTree<String> tree = new BinarySearchTree<>();
        tree.insert("e");
        tree.insert("d");
        tree.insert("c");
        tree.insert("f");
        tree.insert("g");

        System.out.println("contains g? " + tree.contains("g"));
        System.out.println("contains h? " + tree.contains("h"));
        System.out.println("max node: " + tree.findMax().toString());
        tree.preOrder(tree.root);
        System.out.println();
        tree.inOrder(tree.root);
        System.out.println("
height: " + tree.height());
    ｝
｝