【Offer】[62] 【圆圈中最后剩下的数字】

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题目描述

　　0,1,,n-1这n个数字排成一个圆圈，从数字0开始，每次从这个圆圈里删除第m个数字。求出这个圆圈里剩下的最后一个数字。

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思路分析

1. 采用链表来存放数据，每次对长度取余来实现循环:
   • 将所有数字放入LinkedList链表中（LinkedList比ArrayList更适合增删操作）。假设当前删除的结点下标为removeIndex，则下一个要删除的结点的下标为：(removeIndex+m-1)%list.size()，通过取余符号可以实现类型循环的操作
   • 注：没必要用循环链表，反而会更麻烦了。
2. 数学推导规律
   　　n个数字的圆圈，不断删除第m个数字，我们把最后剩下的数字记为f(n,m)。
   　　n个数字中第一个被删除的数字是(m-1)%n， 我们记作k，k=(m-1)%n。
   　　那么剩下的n-1个数字就变成了：0,1,……k-1,k+1,……,n-1，我们把下一轮第一个数字排在最前面，并且将这个长度为n-1的数组映射到0~n-2。
   　　原始数字：k+1,……, n-1,0, 1,……k-1
   　　映射数字：0,……,n-k-2, n-k-1, n-k,……n-2
   　　把映射数字记为x，原始数字记为y，那么映射数字变回原始数字的公式为 y=(x+k+1)%n。
   　　在映射数字中，n-1个数字，不断删除第m个数字，由定义可以知道，最后剩下的数字为f(n-1,m)。我们把它变回原始数字，由上一个公式可以得到最后剩下的原始数字是（f(n-1,m)+k+1)%n，而这个数字就是也就是一开始我们标记为的f(n,m)，所以可以推得递归公式如下：
   　　　　　　　　　　f(n,m) =（f(n-1,m)+k+1)%n　　　　　　　
   　　将k=(m-1)%n代入，化简得到：
   　　　　　　　　　　f(n,m) =（f(n-1,m)+m)%n
　　　　　　　　　　f(1,m) = 0
   　　代码中可以采用循环或者递归的方法实现该递归公式。时间复杂度为O(n)，空间复杂度为O(1)。

测试用例

1. 功能测试：输入的m小于n,比如从最初有5个数字的圆圈中每次删除第2、3个数字;输入的m大于或者等于n,比如从最初有6个数字的圆圈中每次删除第6、7个数字。
2. 特殊输入测试：圆圈中有0个数字。
3. 性能测试：从最初有4000个数字的圆圈中每次删除第997个数字。

Java代码

public class Offer062 {
    public static void main(String[] args) {
        test1();
        test2();
        test3();
        
        
    }

    public static int LastRemaining(int n, int m) {
        return Solution1(n, m);
    }

    
    /*
     * 方法一：采用推导出来的方法
     */
    public static int Solution1(int n, int m) {
        if(n<1 || m<1)
            return -1; //出错
        int last=0;
        for(int i=2;i<=n;i++){
            last=(last+m)% i;  //这里是i不是n！！！
        }
        return last;
    }
     
    /*
     * 方法二：采用链表来存放，每次对长度取余来实现循环
     */
    public static int Solution2(int n, int m) {
        if(n<1 || m<1)
            return -1; //出错
        LinkedList<Integer> list = new LinkedList<Integer>();
        for(int i=0;i<n;i++)
            list.add(i);
        int removeIndex=0;
        while(list.size()>1){
            removeIndex=(removeIndex+m-1)%list.size();
            list.remove(removeIndex);
        }
        return list.getFirst();
    }
    
    private static void test1() {

    }

    private static void test2() {

    }
    private static void test3() {

    }

}

代码链接

剑指Offer代码-Java