题目传送门
https://lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=4036
题解
变成 (2^n-1) 的意思显然就是每一个数位都出现了。
那么通过 MinMax 容斥,可以把问题转化为对于一个集合 (S),求 (S) 中至少有一个元素出现的概率。
这个问题等价于求 (S) 中没有任何一个元素出现的概率,即出现的数都是 (S) 的补集的子集的概率。
这个问可以通过 SoSDP 实现,时间复杂度 (O(n2^n))。
关于 SoSDP
这个东西可以 (O(n2^n)) 求出一个序列中是 (S) 的子集的集合的权值和。
令 (f[i][S]) 表示 (S) 中只有 (i) 以下的位上的 (1) 变成 (0) 的“子集”的权值和。
于是如果 (i in S),那么 (f[i][S] = f[i - 1][S] + f[i - 1][S - {i}])。
否则 (f[i][S] = f[i - 1][S])。
最后 (f[n][S]) 就是 (S) 的子集的答案。可以使用一维滚动数组优化,
这道题的代码:
#include<bits/stdc++.h>
#define fec(i, x, y) (int i = head[x], y = g[i].to; i; i = g[i].ne, y = g[i].to)
#define dbg(...) fprintf(stderr, __VA_ARGS__)
#define File(x) freopen(#x".in", "r", stdin), freopen(#x".out", "w", stdout)
#define fi first
#define se second
#define pb push_back
template<typename A, typename B> inline char smax(A &a, const B &b) {return a < b ? a = b, 1 : 0;}
template<typename A, typename B> inline char smin(A &a, const B &b) {return b < a ? a = b, 1 : 0;}
typedef long long ll; typedef unsigned long long ull; typedef std::pair<int, int> pii;
template<typename I> inline void read(I &x) {
int f = 0, c;
while (!isdigit(c = getchar())) c == '-' ? f = 1 : 0;
x = c & 15;
while (isdigit(c = getchar())) x = (x << 1) + (x << 3) + (c & 15);
f ? x = -x : 0;
}
#define lowbit(x) ((x) & -(x))
const int N = 20 + 7;
const int M = (1 << 20) + 7;
int n, S;
double f[M];
int p[M];
inline void work() {
for (int i = 0; i < n; ++i)
for (int s = 1; s <= S; ++s)
if ((s >> i) & 1) f[s] += f[s ^ (1 << i)];
for (int i = 1; i <= S; ++i) if (f[S] == f[S ^ i]) {
puts("INF");
return;
}
for (int s = 1; s <= S; ++s) p[s] = p[s ^ lowbit(s)] + 1;
double ans = 0;
for (int s = 1; s <= S; ++s)
if (p[s] & 1) ans += 1 / (1 - f[S ^ s]);
else ans -= 1 / (1 - f[S ^ s]);
printf("%.10lf
", ans);
}
inline void init() {
read(n);
S = (1 << n) - 1;
for (int i = 0; i <= S; ++i) scanf("%lf", &f[i]);
}
int main() {
#ifdef hzhkk
freopen("hkk.in", "r", stdin);
#endif
init();
work();
fclose(stdin), fclose(stdout);
return 0;
}