• 欧拉函数


    定义:

    欧拉函数是小于$n$的正整数中与n互质的数的数目($varphi(1)=1$)。

    通项公式:

    $varphi (n)=nprod_{i=1}^k(1-frac{1}{p_i})$,其中$p_1,p_2...p_k$是$n$的所有素因子。

    性质一:

    若$n$为质数,则

    $varphi (n)=varphi(2*n)$

    证明:

    因为$n$为质数,所以只有$n$的倍数与它不互质。

    因为$varphi(n)=n-1$,$varphi(2*n)=2*n-n-1$($n$个偶数,$1$个$n$),所以$varphi (n)=varphi(2*n)$。

    性质二:

    若$n$为一个质数$p$的k次方$p^k$,则

    $varphi (p^k)=p^k-p^{k-1}$

    证明:

    因为因为$p$为质数,所以只有$p$的倍数与它不互质。

    从$1$到$p^k$一共有$p^{k-1}$个$p$的倍数,所以$varphi(p^k)=p^k-p^{k-1}=p^k(1-frac {1}{p})$。

    性质三:

    $varphi(n)$是一个积性函数.

    当$m$,$n$互质时,

    $varphi(nm)=varphi(n)*varphi(m)$

    证明:

    构造以下矩阵

    egin{matrix}
    1& 2& 3&...&m\ 
    n+1&n+2 & n+3&...& n+m\ 
    2*n+1&2*n+2&2*n+3&...&2*n+m\ 
    .&.& . & . & .\ 
    .&.& . & . & .\ 
    .&.& . & . & .\ 
    (n-1)*m+1& (n-1)*m+2 & (n-1)*m+3 & ... & n*m
    end{matrix}

    这个$n*m$的矩阵包括了$1$到$n*m$的所有整数。我们发现第一行有$varphi(m)$个与$m$互质的数。因为若一个数$i$与$m$互质,$k*m+i$也与$m$互质。所以之后的$(n-1)$行也是每一行都有$varphi(m)$个与m互质的数。

    那么每一列是不是也是$varphi(n)$个呢?是的。我们可以证明这$n$个数$mod n$互不相同。

    我们假设存在两个数$mod n$相等。设这两个数为$k1$,$k2$。

    因为两个数$mod n$相等,所以$k1=m1*n+r$,$k2=m2*n+r$。

    又因为

    $k1=q1*m+s,$,$k2=q2*m+s$

    所以

    $q1*m+s-q2*m-s=m1*n+r-m2*n-r$

    $(q1-q2)*m=(m1-m2)*n$

    因为$m$与$n$互质,所以$(q1-q2)$是$n$的倍数。又因为$(q1-q2)$最大值是$n-1$,所以$(q1-q2)$不是$n$的倍数,与假设矛盾。故没有两个数$mod n$相等。

    通过上面的结论,我们可以得出每一行有$varphi(n)$个与$n$互质的数。

    所以整个矩阵中与$n$和$m$都互质的数有$varphi(n)*varphi(m)$个,即$varphi(n*m)$。证毕。

    证明通项公式:

    因为$n$的所有质因子互质,所以$varphi(n)=varphi(prod_{i=1}^{k}p_i^{c_i})$。其中$p_i$是$n$的所有质因子,$c_i$是$p_i$的指数。

    根据性质二,

    $varphi(n)=prod_{i=1}^{k} p_i^{c_i}varphi(1-{}frac{1}{p_i})$
    $varphi(n)=nprod_{i=1}^{k}varphi(1-{}frac{1}{p_i})$

    所以欧拉函数通项公式为

    $varphi(n)=nprod_{i=1}^{k}varphi(1-{}frac{1}{p_i})$。

    性质四:欧拉定理

    对于任意互质的两个正整数$a$,$n$,有$a^{varphi(n)}equiv 1(mod n)$。

    证明:将$1$到$n$中的每一个与$m$互质的数按照$mod n$的大小排序:$x_1$,$x_2$,$x_3...x_{varphi(n)}$。

    设$m_i=a*x_i$

    1.$m$中的数$(mod n)$不同余。

    证明:

    假设$m_i$与$m_j$同余且$m_i>m_j$

    则$a*x_i=q_i*n+r$,$a*x_j=q_j*n+r$

    所以$a*(x_i-x_j)=n*(q_i-q_j)$

    因为$a$与$n$互质,所以$(x_i-x_j)$必定为$n$的倍数。

    又因为$(x_i-x_j)<n$

    所以与假设矛盾。故$m$中的数$(mod n)$不同余。

    2.$m$中的数与$n$取模的结果与$n$互质。

    证明:设余数与$n$有公因子$r$

    则$a*x_i=qn+pr=r(frac{qn}{r}+p)$

    因为$frac{qn}{r}+p$是整数,所以$a*x_i$含有因数$r$,这意味着$a*x_i$与$n$不互质。而这与上面的结论矛盾。故$m$中的数与$n$取模的结果与$n$一定互质。

    由1,2,可知,$m$中的数经过重新排列,必定模$n$同余于$x$

    也就是

    $prod_{i=1}^{varphi(n)}m_i equiv prod_{i=1}^{varphi(n)}x_i (mod n)$

    变形

    $a^{varphi(n)}prod_{i=1}^{varphi(n)}x_i equiv prod_{i=1}^{varphi(n)}x_i (mod n)$

    $(a^{varphi(n)}-1)*prod_{i=1}^{varphi(n)}x_i equiv 0 (mod n)$

    所以

    $(a^{varphi(n)}-1)*prod_{i=1}^{varphi(n)}x_i|n$

    因为$x_i$与$n$互质,所以

    $a^{varphi(n)}-1 equiv 0 (mod n)$

    $a^{varphi(n)} equiv 1 (mod n)$

    性质五:

    对于正整数$n$,有

    $sum_{i|n}varphi(i)=n$。

    证明:

    设$F(n)$等于$sum_{i|n}varphi(i)$

    设$m$是与$n$互质的一个正整数。

    所以$F(n)*F(m)=sum_{i|n}varphi(i)*sum_{i|m}varphi(i)$

    因为当$n$,$m$互质时,$varphi(n*m)=varphi(n)*varphi(m)$

    又因为$n$,$m$互质,所以$n$和$m$的因数两两互质。

    所以$F(n)*F(m)=sum_{i|n}sum_{j|m}varphi(i*j)$

    因为$sum_{i|n}sum_{j|m}varphi(i*j)$包括了$n*m$的所有因数。

    所以$F(n)*F(m)=F(n*m)$

    所以$F(n)$是积性的。

    考虑$n$的所有质因子$p$

    $F(p_i^{c_i})=sum_{k=1}^{c_i-1}varphi(p_i^k)$

    $F(p_i^{c_i})=sum_{k=1}^{c_i-1}p_i^k-p_i^{k-1}+1$

    $F(p_i^{c_i})=p_i^{c_i}$

    设$n$有$m$个质因子

    $F(n)=prod_{i=1}^{m}p_i^{c_i}$

    $F(n)=n$

    性质六:

    对于一个大于$2$的正整数$n$,$varphi(n) equiv 0 (mod 2)$。

    证明:

    假设$m$与$n$互质,且$n>m$,则$gcd(n,m)=gcd(n,n-m)=1$,这表明与$n$互质的数是成对存在的。

    性质7:

    对于一个正整数$n$和一个素数$p$

    如果$p|n$且$p^2|n$,则$varphi(n)=varphi(frac{n}{p})*p$

    如果$p|n$且$p^2 ot | n$,则$varphi(n)=varphi(frac{n}{p})*(p-1)$

    证明:

    因为$p|n$且$p^2|n$,所以$n$与$frac{n}{p}$有相同的质因子。

    所以

    
    

    $frac{varphi(n)}{varphi(frac{n}{p})}=frac{nprod_{i=1}^{k}(1-frac{1}{p_i})}{ frac{n}{p}prod_{i=1}^{k}(1-frac{1}{p_i})}=frac{n}{frac{n}{p}}=p$


    如果$p|n$且$p^2 ot | n$,说明$p$与$frac{n}{p}$互质,

    所以

    $varphi(p*frac{n}{p})=varphi(p)*varphi(frac{n}{p})=varphi(frac{n}{p})*(n-1)$

    线性筛:

    void work(int n)
    {
        prime[1]=0;
        num[1]=1;
        int i,j;
        for(i=2;i<=n;i++)
        {
            if(!vis[i])
            {
                vis[i]=1;
                prime[++prime[0]]=i;
                num[i]=i-1;
                continue;
            }
            for(j=1;j<=prime[0]&&prime[j]*i<n;j++)
            {
                vis[prime[j]*i]=1;
                if(i%prime[j]==0)
                {
                    num[i*prime[j]]=num[i]*prime[j];
                    break;
                }
                num[prime[j]*i]=num[i]*(prime[j]-1);
            }
        }
    }

     这是蒟蒻的第一篇数学博文,写的很丑请见谅。如果有错误的话,在评论里疯狂d我,我会fix的。

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