和声学自学
第一个寒假开始了，由于寒假延长，因此有了一些机会做一些学习的工作。之前预先演练了一下数学的预习，现在开始从头学习和声学。
工具准备
学习基础和声学主要用到：
《图解和声·基础篇》叶小胖 From 豆瓣
参考：[奥]勋伯格《和声学》、《和声的结构功能》上海音乐出版社
（勋伯格认为没有天赋的人应该尽早完全放弃音乐学习，不过我只是学着玩，所以看到这些博客的朋友也玩着看就好......）
主要工具：
MuseScore
Studio One 5
（都可以找到免费正版）
（廉价的）键盘乐器
0、准备：音程循环
一、半音阶循环
在真正从头开始学习和声学之前，我们不妨从头开始学习一下基础的音程。
物理学发展之后，人们发现声音是由振动发出的，振动的频率决定了声音的音高，而八度音程实际上是发声频率翻倍造成的。在此基础之上，根据通用的十二平均律，一个八度音程被分为12等分。请注意由于人耳对声音频率的分辨是对数形式的，所以实际上十二等分是对$[0,ln 2]$十二等分，也就是每个音的频率是其上一个音的$^{12} sqrt{2}$倍。
物理上的解释令人困惑。人们常用的记法是字母：
C — C#/Db — D — D#/Eb — E — F — F#/Gb — G — G#/Ab — A — A#/Bb — B — C
请注意：
1、两个音之间相隔的距离称为音程。其中音高较低的音称为根音，较高的称为冠音。
2、每两个字母之间频率翻$^{12} sqrt{2}$倍，这样的音程称为半音。#代表升号，即升高一个半音；b则是降号。从C开始以半音上升，最终又回到了C，可以发现这是一个循环，这样就称为半音阶循环。既然生成了循环，大家不妨把这些字母按顺序画在一个圆周上，颇似一张钟表。
3、有些音是等价的，譬如C#=Db，但是虽然音高相同，在某些时候它们的意义并不一定相同。
4、由于很多音乐上的习惯都是来源于钢琴，而钢琴上CDEFGAB这七个音处于白键，貌似比黑键更重要，因此有了上面的记法、只有七个基本字母、“半音”这种称呼、甚至从C开始的习惯。但是12个音之间是没有重要性的大小关系的，以哪个音开始都能构成循环。同时，这也造成了这种记法有一些复杂的地方（比如各种升降号），大家如果不习惯，可以自己选择或创造一些喜欢的记法，但是本人的博客还是尽量采用这种国际通用的记法。
5、形成了循环就表示音高之间不是绝对的，譬如C不一定低于D。本文下面的内容，音程X — Y中，X总是不高于Y的。
二、音程表
了解了音程，我们来了解度数。这依然是一个习惯的记法。
度数的意义实际上是音程之间跨越的基本字母数。譬如一度：C — C。或者二度：C — Db 、C — D 、 C — D#。请注意升降号不影响度数。当然大家可能会发现C — D# 和 C — Eb 是一样的音程，但是它们的度数仍然是不同的。大家还可能发现同一个度数会有几种不同的音程。区分这些主要靠以下名字：大/M（Major）、小/m（minor）、纯/P（Perfect）、增/A（Augmented）、减/d（diminished）。譬如C — D#就是增二度，C — Eb是小三度。
度数之间的关系比较复杂，这里具体的表格就不展示了，我主要想介绍我认为初学时利于记忆的方法：
1、首先还是借助键盘比较容易。首先应该牢记存在纯音程的四个度：一度、四度、五度、八度。其他音程没有纯音程的说法，转而有大、小音程的说法。
借助键盘，我们可以简单地记忆几个比较明白的度数：
纯一度C — C、大二度C — D、大三度C — E、纯四度C — F、纯五度C — G、大六度C — A、大七度C — B、纯八度C — C
可以看到都是钢琴上（以C开始）的白键之间的音程，而且都是纯音程或者大音程，比较好记。
以此为基础推导，向上向下加减半音： 纯 加（减）一个半音成为 增（减）； 大 减去一个半音成为 小 ；大 加一个半音、小 减去一个半音，各自成为 增、减。注意不存在减一度。
2、实际上大小增减都是名字，我们在明白了怎么称呼它们之后，可以明白它们之间距离的本质，就是物理上的频率，音乐上就用半音表示。没有键盘的朋友可以尝试直接这样记忆。这里只说明以下半音距离：
纯一度(0)、大二度(2)、大三度(4)、纯四度(5)、纯五度(7)、大六度(9)、大七度(11)、纯八度(12)
然后通过上面说过的推导来记忆其它音程。
这里还有一个好处就是可以应用上我们小学一年级就学过的20以内加减法。譬如由于：
$3+4=7$
我们就有：
小三度 + 大三度 = 纯五度
m3 + M3 = P5
3、明白了这些之后，我们就可以在键盘上或者循环图上进行练习，直到熟悉。
三、更多循环
除了半音循环，我们还有以下几种循环：
1、全音程循环。两个半音的音程就叫全音。由于：2是12的因数，所以全音程可以构成较短的循环，有以下两种：
C — D — E — F#/Gb — G#/Ab — A#/Bb — C
C#/Db — D#/Eb — F — G — A — B — C#/Db
由于$frac{12}{2} = 6$，所以全音循环只有两种、每种经过六个音。如果画在之前提到过的表盘上，会发现这是两个六边形。
2、小三度循环。三个半音就叫小三度（或者增二度）。由于：3是12的因数，所以小三度也可以构成较短的循环。容易发现只有三种：
C — D#/Eb — F#/Gb — A — C
C#/Db — E — G — A#/Bb — C#/Db
D — F — G#/Ab — B — D
到小三度大家会发现由于音数的减少，声音听上去有了一些关系。实际上三个小三度构成了称为减七和弦的和弦。至于为什么叫减七和弦之后再说。不过大家应该知道，虽然小三度循环只有三种，但是减七和弦并不只有三种。放在表盘上，小三度循环就是正方形。
3、大三度循环。四个半音就叫大三度。同样，大三度循环只有四种：
C — E — G#/Ab — C
C#/Db — F — A — C#/Db
D — F#/Gb — A#/Bb — D
D#/Eb — G — B — D#/Eb
大三度是大家更熟悉的音程。大三度的叠加也可以构成称为增三和弦的和弦。同样，虽然循环只有四种，但是增三和弦不只有四种。放在表盘上，大三度循环就成了正三角形。
4、纯四度、纯五度循环。五个半音就叫纯四度、七个半音就叫纯五度。实际上由于5、7和12的互质关系，纯四度、纯五度循环会遍历十二个音，如同半音阶循环一样。下面给出纯四度和纯五度循环：
C — F — A#/Bb — D#/Eb — G#/Ab — C#/Db — F#/Gb — B — E — A — D — G — C
C — G — D — A — E — B — F#/Gb — C#/Db — G#/Ab — D#/Eb — A#/Bb — F — C
大家可以发现，纯四度循环和纯五度循环是对称的关系，例如将纯四度循环反过来就变成了纯五度循环。这是由于纯四度和纯五度之间的转位关系。通俗点说就是$5+7=12$。由于纯四度和纯五度循环遍历12个音，实际上它们和半音阶循环是同构的。纯五度循环在半音阶表盘上构成一个十二芒星，如果我们按照纯五度循环的顺序把音排成另一个表盘，则半音阶循环也构成一个十二芒星。这里如果想解释得高深一点，《图解和声》推荐各位搜索十二阶循环群（反正我没有搜索......）。
5、增四度/减五度循环。实际上这个音程由六个半音得到，也就是说12个音中两两互为循环，譬如C — F#/Gb，这里就不全部列出了。
6、超过七个半音的音程构成的循环。由于上面提到过的转位关系，超过7个半音的循环将会和它们的转位音程循环形成同构关系。譬如小六度（8）循环和大三度（4）循环同构。下面就不详细介绍了。
以上就是和声学需要的最基础的乐理。虽然我们提到了振动学、群论的有关知识，但是它们并不必需，最必须的就是记忆力和熟练度，以及20以内加法，完全不复杂。如果有朋友认为CDEFGAB太复杂了，完全可以通过合适自己的方式记忆。当然度数还是建议熟悉，因为这是目前的习惯记法。