357. Count Numbers with Unique Digits

问题：

给定数字n，由n个数字(0~9)构成0～n位数，求构成的数中，不同数位上重复数字的数以外，有多少个数。

Example:
Input: 2
Output: 91 
Explanation: The answer should be the total numbers in the range of 0 ≤ x < 100, 
             excluding 11,22,33,44,55,66,77,88,99

Constraints:
0 <= n <= 8

解法：Backtracking（回溯算法）

对于本问题，两个变量：

• 路径：已经选择好的前几位结果path
• 选择列表：对该位置上元素的选择可能性：0～9中不在path中的任意数字

处理过程：

• base：递归退出条件：选择到最后一位结束，这里为已经选择好路径长度==给出的组合要求长度 n。
• 做选择：对于当前位置，选择其中一个可用数字a。（不在path中的任意数字）
  • 路径.add(a)
  • 选择列表.delete(a)：上一个选择数字 i + 1
• 撤销选择：回退到选择数字a之前的状况。
  • 路径.delete(a)
  • 选择列表.add(a)：i

⚠️  注意：特别的以0开头的数字，不要求开头的0与其他位的0进行重复。

代码参考：

class Solution {
public:
    void dfs(int& res, int n, int pos, unordered_set<int>& path) {
        if(pos == n) {
            res++;
            return;
        }
        for(int i=0; i<10; i++) {
            if(path.count(i)==0) {
                path.insert(i);
                if(path.size()==1 && i==0) path.erase(i);
                dfs(res, n, pos+1, path);
                path.erase(i);
            }
        }
        return;
    }
    int countNumbersWithUniqueDigits(int n) {
        int res = 0;
        unordered_set<int> path;
        dfs(res, n, 0, path);
        return res;
    }
};

数学算法：

参考leetcode discuss

Following the hint. Let f(n) = count of number with unique digits of length n.

f(1) = 10. (0, 1, 2, 3, ...., 9)

f(2) = 9 * 9. Because for each number i from 1, ..., 9, we can pick j to form a 2-digit number ij and there are 9 numbers that are different from i for j to choose from.

f(3) = f(2) * 8 = 9 * 9 * 8. Because for each number with unique digits of length 2, say ij, we can pick k to form a 3 digit number ijk and there are 8 numbers that are different from i and j for k to choose from.

Similarly f(4) = f(3) * 7 = 9 * 9 * 8 * 7....

...

f(10) = 9 * 9 * 8 * 7 * 6 * ... * 1

f(11) = 0 = f(12) = f(13)....

any number with length > 10 couldn't be unique digits number.

The problem is asking for numbers from 0 to 10^n. Hence return f(1) + f(2) + .. + f(n)

代码参考：

class Solution {
public:
    int countNumbersWithUniqueDigits(int n) {
        int res = 10;
        if(n==0) return 1;
        int kcounts = 9;//k位数，能构成的符合条件的数字总数 
        int avalible = 9;//该位置余下可用的数字个数
        for(int i=n; i>1; i--) {
            kcounts = kcounts * avalible;
            res += kcounts;
            avalible--;
        }
        return res;
    }
};