51. N-Queens

问题：

给一个 N×N 的棋盘，可放置 N 个皇后，使得它们不能互相攻击。

PS：皇后可以攻击同一行、同一列、左上左下右上右下四个方向的任意单位。

Example 1:
Input: n = 4
Output: [[".Q..","...Q","Q...","..Q."],["..Q.","Q...","...Q",".Q.."]]
Explanation: There exist two distinct solutions to the 4-queens puzzle as shown above

Example 2:
Input: n = 1
Output: [["Q"]]
 

Constraints:
1 <= n <= 9

解法：Backtracking（回溯算法）DFS（深度优先搜索 Depth-First-Search）

变量：

• 路径：到当前行为止，上面的行所确定的Q位置。
• 选择：对当前行，可选择任意一列（满足不与上方确定的Q冲突）。

处理：

• base：处理到最后一行，则将路径加入res，退出递归
• 决定选择：若当前行的该列满足条件（不与上方Q冲突），则将该位置加入path路径。将该位置只为"Q"。
• 撤销选择：将该位置只为空"."。

⚠️ 注意：这里对满足条件（不与上方Q冲突），提出一个函数isValid进行判断处理

分别判断已经确定好的path中，该位置[row, col]的上方↑左上方↖︎右上方↗︎，都没有Q，则返回true。

代码参考：

class Solution {
public:
    bool isValid(vector<string> path, int row, int col) {
        int n = path.size();
        //check if there is a Queen already in the same col above.↑
        for(int i = 0; i < row; i++) {
            if(path[i][col]=='Q') return false;
        }
        //check if there is a Queen already in its left up.↖︎
        for(int i = row-1, j = col-1; i >= 0 && j >= 0; i--, j--) {
            if(path[i][j]=='Q') return false;
        }
        //check if there is a Queen already in its right up.↗︎
        for(int i = row-1, j = col+1; i >= 0 && j < n; i--, j++) {
            if(path[i][j]=='Q') return false;
        }
        return true;
    }
    void traverse(vector<string> path, int row) {//for each row
        if(row == path.size()) {
            res.push_back(path);
            return;
        }
        int n = path.size();
        for(int col = 0; col < n; col++) {//options: which col to choose
            if(isValid(path, row, col)) {
                path[row][col] = 'Q';
                traverse(path, row+1);
                path[row][col] = '.';
            }
        }
        return;
    }
    vector<vector<string>> solveNQueens(int n) {
        vector<string> path(n, string(n,'.'));
        traverse(path, 0);
        return res;
    }
private:
    vector<vector<string>> res;
};