Floor and Mod(CF1485C)(数论)

题意：
问多少对 (a,b) 满足 (lfloor frac{a}{b} floor =a mod b) 。
其中 (1leqslant aleqslant x,1leqslant bleqslant y) 。

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想法：

• (lfloor frac{a}{b} floor =a mod b) 如果对于 (a) 没有限制的话，对于每个 (b) 那么答案就是 (b-1) 个 ( (0sim (b-1)) 只有 (0) 不符合。
• 考虑对于一个 (b) 确定，哪些 (a) 会满足答案。如 (frac{b+1}{b}、frac{2 imes (b+1)}{b}...)都满足，那么就可以得到 $frac{k imes (b+1)}{b} = (k imes (b+1)) mod b $ 满足。
• 由于 (k imes (b+1)) 的取值范围是 (1sim x)，那么对于每个 (b)，在这个取值范围内可取答案数量就是 (lfloor frac{x}{b+1} floor)。
• 所以最终答案就是
  .(sum^{y}_{b=2} min(b-1,frac{x}{b+1} ))。
• 接下来考虑这个式子怎么求。把这个式子分成两部分，那么分界点就是 (b-1=frac{x}{b+1}) 时，也就是 $b=sqrt{x+1} $ 时，那么答案就是
  .(sum^{sqrt{x+1}}_{b=2} b-1 +sum^{ y}_{b=sqrt{x+1}+1} frac{x}{b+1})
• 对于前半部分，就是等差数列求和。对于下半部分，考虑数论分块
• 需要注意的就是在分块的过程中区间选取时，对于 (b)的枚举不能超过 (x)且区间末端不能超过 (x,y)。

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代码：

#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
using namespace std;
const int mod=1e9+7;
const int maxn=100005;

int main()
{
    int T;
    ll a,b;
    cin>>T;
    while(T--){
        scanf("%lld%lld",&a,&b);
        ll num=sqrt(a+1);
        ll ans=0;
        if(num>b){
            num=b;
            ans+=(num)*(num-1)/2;
        }else{
            ans+=(num)*(num-1)/2;
            for(ll l=num+1,r;l<=min(a,b);l=r+1){
                if(a/(l+1)==0)break;
                else{
                    r=min(b,min(a,a/(a/(l+1))-1));
                }
                ans+=(r-l+1)*(a/(l+1));
            }
        }
        cout<<ans<<endl;
    }
    return 0;
}