【题解】Loj6485 LJJ 学二项式定理

LJJ 学二项式定理

( ext{Solution:})

观察到这个东西的下标是带 (mod) 的，而且组合数的形式很像二项式定理。考虑单位根反演把下标的 (mod 4) 去掉。

[sum_{i=0}^n inom{n}{i}s^ia_{imod 4} \ =sum_{i=0}^n inom{n}{i}s^isum_{j=0}^3 a_j[jequiv i(mod 4)] \ =sum_{i=0}^n inom{n}{i}s^isum_{j=0}^3 a_j[4|(i-j)] \ =sum_{i=0}^n inom{n}{i}s^isum_{j=0}^3 a_jfrac{1}{4}sum_{k=0}^3 omega_{4}^{k(i-j)} \ =frac{1}{4}sum_{j=0}^3 a_jsum_{k=0}^3 omega_{4}^{-kj}sum_{i=0}^n inom{n}{i}s^i omega_4^{ki} \ =frac{1}{4}sum_{j=0}^3 a_jsum_{k=0}^3 omega_{4}^{-kj}(somega_4^k+1)^n ]

观察到在 (mod 998244353) 下，其 (4) 次单位根是存在的，原根为 (3,) 又因为 (a^{mod-1}equiv 1(mod mod),) 故而 (omega_4=g^{frac{mod-1}{4}})

注意到指数上是整除的，所以存在。

于是单次计算就可以 (O(log n)) 了。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define int long long
const int mod=998244353;
const int g=3;
inline int Add(int x,int y){return (x+y)%mod;}
inline int Mul(int x,int y){return 1ll*x*y%mod;}
inline int qpow(int x,int y){
    int res=1;
    while(y){
        if(y&1)res=Mul(res,x);
        x=Mul(x,x);y>>=1;
    }
    return res;
}
int T,n,s,a[4],Pw[50];
inline int getinv(int x){return qpow(x,mod-2);}
signed main(){
    scanf("%lld",&T);
    int W=qpow(3,(mod-1)/4);
    Pw[0]=1;
    for(int i=1;i<=20;++i)Pw[i]=Mul(Pw[i-1],W);
    while(T--){
        scanf("%lld%lld",&n,&s);
        for(int i=0;i<4;++i)scanf("%lld",&a[i]);
        int ans=0;
        for(int i=0;i<4;++i){
            int sum=0;
            for(int j=0;j<4;++j){
                int wn=getinv(Pw[i*j]);
                int swk=Mul(s,qpow(W,j));
                int spw=qpow(swk+1,n);
                sum=Add(sum,Mul(wn,spw));
            }
            ans=Add(ans,Mul(a[i],sum));
        }
        ans=Mul(ans,getinv(4));
        printf("%lld
",ans);
    }
    return 0;
}