• 【题解】CF1228D Complete Tripartite


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    题目大意:给定一个无向图,将它划分为三个点集,要求在一个点集中的点没有边相连,且颜色相同,不同集合中的点互相有边相连。

    ( ext{Solution:})

    我们发现,与一个点之间没有边相连的一定在同一个集合。

    因为如果有边相连就已经违反了一个性质。

    那么我们可以轻易确定一个集合。剩下的任务就是在剩下的点中确定另外两个集合。

    我们遍历剩下没有确定的所有集合,随意找到一个点,将所有与它相连的、未染色的点划分为一个集合。

    这样,剩下的点就是另一个集合。

    证明:

    对于除去已经确定的集合中的点,随意找到的点,它所相连的边,一种是属于已经确定的集合,就是已经染色的,直接跳过;

    否则,其它边所连的点一定与它自己在不同集合中。而且,对于一个合法的划分,这是对所有点都满足的性质。

    于是,我们随机找的正确性就有了保障。

    并且还能证明出这样划分的集合形态唯一:对于一个点所连的所有点,因为我们选择先确定第一个集合,那么显然一个集合的点是确定的。因为与一个点没有边相连的点是确定的。

    进一步地,因为我们已经证明随机选点的正确性,那我们随便选一个点,最终造成的结局一定是合法的(如果这个图有解)。因为对于任意个点都满足那个性质。

    所以,我们随机选一个点并染色后,只需要一次判断就行了。

    证毕。

    首先判断每个集合中的点数是不是(0),无解情况之一。其次,枚举每个点对应的每条边,看看所连的点对应的集合是不是满足连满了对应的所有点。以及判断有没有与它相连的同一集合的点。

    这题做完了。复杂度(O( ext{min(n,m)}))的亚子。

    #include<bits/stdc++.h>
    using namespace std;
    const int MAXN=3e5+10;
    int n,m,tot,head[MAXN<<1];
    int col[MAXN],c[MAXN],cl[MAXN][4];
    struct edge {
    	int nxt,to;
    } e[MAXN<<1];
    inline void add(int x,int y) {
    	e[++tot].to=y;
    	e[tot].nxt=head[x];
    	head[x]=tot;
    }
    
    int main() {
    	scanf("%d%d",&n,&m);
    	for(int i=1; i<=m; ++i) {
    		int x,y;
    		scanf("%d%d",&x,&y);
    		add(x,y);
    		add(y,x);
    	}
    	col[1]=1;
    	c[1]++;
    	for(int i=head[1]; i; i=e[i].nxt) {
    		int j=e[i].to;
    		col[j]=2;
    	}
    	for(int i=1; i<=n; ++i)if(!col[i])col[i]=1,c[1]++;
    	int s=2;
    	for(; s<=n&&col[s]!=2; s++);
    	for(int i=head[s]; i; i=e[i].nxt) {
    		int j=e[i].to;
    		if(col[j]==1)continue;
    		col[j]=3;
    		c[3]++;
    	}
    	c[2]=n-c[1]-c[3];
    	if(!c[1]||!c[2]||!c[3])return 0&puts("-1");
    	for(int x=1; x<=n; ++x) {
    		for(int i=head[x]; i; i=e[i].nxt) {
    			int j=e[i].to;
    			cl[x][col[j]]++;
    		}
    		for(int i=1; i<=3; ++i) {
    			if(col[x]!=i&&cl[x][i]!=c[i]) {
    				puts("-1");
    				return 0;
    			}
    			if(col[x]==i&&cl[x][i])return 0&puts("-1");
    		}
    	}
    	for(int i=1; i<=n; ++i)cout<<col[i]<<" ";
    	return 0;
    }
    
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